2. O conjunto solução da inequação x / (x^2 - 5x + 6) ≥ -1 / (x - 3) é igual a

  1. (-∞, 1] ∪ [3, +∞)
  2. (-∞, 1] ∪ (3, +∞)
  3. [1,2) ∪ (2,3) ∪ (3,∞)
  4. [1,2] ∪ [3, ∞]
  5. (-∞, 1] ∪ {2, 3} ∪ (3, +∞)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos indicar os valores possíveis f x pode tomar, para encontrarmos o conjunto solução da inequação!

Vamos começar ajeitando a nossa inequação,

x x 2 - 5 x + 6 ≥ - 1 x - 3 → x x - 3 x 2 - 5 x + 6 ≥ - 1

Como temos uma divisão com um polinômio, vamos analisar o numerador e denominador em separado. Lembrando que só será solução os resultados que foram maiores que - 1 .

Bora lá!

Passo 2

Começando por,

x 2 - 5 x + 6

Repara que temos uma parábola com a concavidade para cima. Deste modo, o valor mínimo que f x   pode tomar é x = 0 .

f 0 = 0 2 - 5 0 + 6 = + 6

Agora vamos ver qual a região desta parte da função que ela continua negativa. Para isso vamos fazer f x = 0 e encontrar as raízes da equação:

x 2 - 5 x + 6 = 0

Por Bhaskara, teremos:

x = + 5 ± - 5 2 - 4 1 + 6 2 1 = + 5 ± 1 2

Logo, as raízes serão

x 1 = 3

x 2 = 2

Logo ela será negativa ou igual a zero para 2 ≤ x ≤ 3 .

Passo 3

Agora vamos para,

x x - 3

Repara que temos uma parábola com a concavidade para cima. Deste modo, o valor mínimo que f x   pode tomar é x = 0 .

f 0 = 0 0 - 3 = 0

Agora vamos ver qual a região desta parte da função que ela continua negativa. Para isso vamos fazer f x = 0 e encontrar as raízes da equação:

x x - 3 = 0

Logo, as raízes serão

x 1 = 0

x 2 = 3

Logo ela será negativa ou igual a zero para 0 ≤ x ≤ 3 .

Passo 4

Agora vamos juntar essas informações em uma tabela indicando quando o numerador e denominador são positivos ou negativos:

Agora vamos verificar o sinal da divisão,

Repara que a função é positiva para qualquer intervalo, exceto para 0 < x < 2 . Então agora temos que analisar esse intervalo para saber quando ela será maior que - 1 .

Passo 5

Vamos olhar a função,

x x - 3 x 2 - 5 x + 6 ≥ - 1

Vamos transforma-la numa equação,

x x - 3 x 2 - 5 x + 6 = - 1

x x - 3 = - x 2 + 5 x - 6

x 2 - 3 x = - x 2 + 5 x - 6

2 x 2 - 8 x + 6 = 0

x 2 - 4 x + 3 = 0

Resolvendo,

x = + 4 ± - 4 2 - 4 1 + 3 2 1 = + 4 ± 2 2

Logo, as raízes serão

x 1 = 3

x 2 = 1

Logo ela será negativa ou igual a zero para 1 ≤ x ≤ 3 .

Ou seja, para respeitarmos

x x 2 - 5 x + 6 ≥ - 1 x - 3

Só podemos considerar os números positivos. Logo,

1,2 ∪ 3 , ∞

Prontinho!

Resposta

d

Exercícios de Livros Relacionados