UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 9, Questão 2e
Resolva em as inequações abaixo:
e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu a inequação de segundo grau com um quociente e pediu pra gente encontrar os valores de para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em ).
Então, o que nós vamos fazer é encontrar as raízes de cada equação, pra a partir daí montar o gráfico e verificar os intervalos onde a função é negativa ou positiva.
Em seguida, nós vamos montar um quadro e fazer o estudo de sinal de cada termo e ver quais os intervalos que satisfazem a inequação.
Vamos lá!
Passo 2
Temos a inequação:
Aqui nós temos uma equação do primeiro grau no numerador, que representa uma reta, e uma equação do segundo grau no denominador, que representa uma parábola.
Vamos começar analisando a equação do numerador e verificando os valores onde ela é igual a zero:
Então, ela corta o eixo em e nós temos a reta:
Repare que ela é positiva somente depois que passa por , então nós temos o intervalo positivo:
Passo 3
Pra segunda equação, que tá no denominador, temos:
Vamos encontrar as raízes usando Bhaskara:
Resolvendo:
Já sabemos onde a função toca o eixo (em e ) e que ela é uma parábola, então vamos esboçar seu gráfico:
Agora vamos analisar o gráfico. Repare que aqui a função começa positiva até cortar o eixo em . Aí, ela passa a ser negativa até cortar o eixo novamente em . Depois de , a função volta a ser positiva.
Então, vamos escrever intervalo onde nossa função é positiva. Só que agora esse intervalo vai ser aberto dos dois lados, porque o denominador de uma fração nunca pode ser zero, então não podemos considerar os zeros da função, beleza?
E aí fica assim:
Passo 4
Beleza, agora vamos analisar como fica o quociente dessas duas funções, que é a nossa inequação:
Vamos pegar os intervalos e que nós encontramos nos passos anteriores e montar a nossa tabelinha para estudar os sinais:
Como a inequação nos diz que o quociente maior ou igual a zero, vamos selecionar os intervalos onde o sinal é positivo (olhando pra primeira linha da tabela). Assim, o nosso conjunto solução é:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉