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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Prof° Edison Figueiredo - 1ª Lista, Questão 15

Calcule ∫ D ∫ ( x + y ) 2 s e n 2 ( x - y ) d x d y , onde D = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 / | x | + | y | ≤ π } .

(Sugestão: Faça u = x + y e v = x - y )

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Temos que resolver a seguinte integração

∫ D ∫ ( x + y ) 2 s e n 2 ( x - y ) d x d y           ( 1 )

sobre o domínio limitado de forma que

D = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 / | x | + | y | ≤ π }

O segredo é avaliar os limites de integração baseados no domínio indicado como a região D , no entanto, nestas coordenadas a integração pode ser complicada, aí entra a sugestão dada, em que podemos tentar fazer a seguinte substituição para simplificar o problema

u = x + y e v = x - y

e assim obter uma nova região que pode simplificar o nosso problema! Vamos fazer isso agora!

Passo 2

Primeiro vamos tentar visualizar a nossa região de integração

note que montar as quatro retas que determinam a região, é preciso usar a seguinte relação

| x | + | y | ≤ π

mas note que a definição de módulo indica que para x < 0 , temos que | x | = - x , e temos que para x > 0 , | x | = x , pode se fazer analogamente para | y | , e assim se obtém as quatro retas indicadas acima! Isso vai ser importante quando formos escrever nossa nova região! Vamos fazer agora a mudança de coordenadas sugerida!

Passo 3

Foi sugerido que fizéssemos

u = x + y e v = x - y         ( 2 )

ao fazer uma mudança de coordenadas, temos que

d x d y = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) d u d v

em que

que é o jacobiano da mudança de coordenadas, para aplicarmos a definição precisamos obter x ( u , v ) e y ( u , v ) , isso é obtido somando ambas equações em ( 2 ) de forma que

2 x = u + v

ou simplesmente

x = 1 2 [ u + v ]

Agora subtraindo ambas as equações em ( 2 ) temos que

y = 1 2 [ u - v ]

de forma que podemos aplicar o determinante do jacobiano para obter

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v - ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u = ( 1 2 ) ( - 1 2 ) - ( 1 2 ) ( 1 2 )

ou simplesmente

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = - 1 2

Usando estes resultados e a mudança de coordenadas em nossa integral dupla, temos que

∫ D ∫ ( x + y ) 2 s e n 2 ( x - y ) d x d y = - 1 2 ∫ R ∫ u 2 s e n 2 ( v ) d u d v

Bem mais simples não é? Faltam só os limites de integração! Para isso, vamos visualizar quem é a região R !

Passo 4

Ao fazer a mudança de coordenadas nós mudamos nossa região, antes delimitadas por quatro retas, mas agora, estas quatro retas se tornam

u - v = π + u + v

ou simplesmente

v = - π / 2

uma reta constante! Analogamente para as outras retas, temos que

u - v = π - ( u + v )

nos leva à

u = π / 2

e, também que

v = π / 2 e u = - π / 2

que é a região retangular

Os limites de integração são então simplesmente dados por

- 1 2 ∫ R ∫ u 2 s e n 2 ( v ) d u d v = - 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 ∫ - π / 2 π / 2 u 2 s e n 2 ( v ) d u d v

Ficou bem mais simples que a integral original não é? E como os limites são constantes (temos uma região retangular) podemos separar as integrais e integrar na ordem que bem desejamos! Vamos lá!

Passo 5

Vamos começar com a integral em v , temos que

∫ - π / 2 π / 2 s e n 2 ( v ) d v

usando a relação de meio ângulo, obtemos que

∫ - π / 2 π / 2 s e n 2 ( v ) d v = 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 [ 1 - c o s ( 2 v ) ] d v = 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 d v - 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 c o s ( 2 v ) d v

A primeira integral é identificada como

∫ - π / 2 π / 2 d v = v | - π / 2 π / 2 = π

a, outra integral é simplesmente

∫ - π / 2 π / 2 c o s ( 2 v ) d v = 1 2 s e n ( 2 v ) | - π / 2 π / 2 = 0

Temos então que

∫ - π / 2 π / 2 s e n 2 ( v ) d v = π 2

A nossa integral original toma a forma

- 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 ∫ - π / 2 π / 2 u 2 s e n 2 ( v ) d u d v = - π 4 ∫ - π / 2 π / 2 u 2 d u

Vamos resolver a integração que falta!

Passo 6

Essa integral pode ser identificada como

∫ - π / 2 π / 2 u 2 d u = 1 2 + 1 u 2 + 1 | - π / 2 π / 2 = u 3 3 | - π / 2 π / 2

Avaliando os limites obtemos que

∫ - π / 2 π / 2 u 2 d u = 1 3 [ π 3 8 + π 3 8 ] = π 3 12

E a nossa integral é dada finalmente por

- 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 ∫ - π / 2 π / 2 u 2 s e n 2 ( v ) d u d v = - π 4 48

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ D ∫ ( x + y ) 2 s e n 2 ( x - y ) d x d y = - π 4 48

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .