Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:

b) ∫ 0 3 ∫ y 2 9 y cos ⁡ ( x 2 ) d x d y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente inverter a ordem de integração e calcular a integral dupla dada. Pra inverter a ordem de integração, a gente precisa inverter os limites de integração e a melhor forma de visualizar isso é observando o gráfico da região dada pelos limites. Nesse caso, temos:

A gente vai tentar escrever nossa integral com d y d x , então temos que olhar primeiro como y varia e verificar, em seguida, como x varia no gráfico. Assim, vamos calcular nossa nova integral.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando nosso gráfico, a gente percebe que x varia de 0 até 9 e que y varia de 0 até a parábola x = y 2 ou y = x . Assim:

0 ≤ x ≤ 9

0 ≤ y ≤ x

Então, montando nossa integral, temos:

∫ 0 3 ∫ y 2 9 y cos ⁡ ( x 2 ) d x d y = ∫ 0 9 ∫ 0 x y cos ⁡ ( x 2 ) d y d x

Assim, integrando primeiro em relação a y :

∫ 0 9 y 2 2 0 x cos ⁡ ( x 2 ) d x

Aplicando os limites de integração em y :

∫ 0 9 x 2 2 - 0 2 2 cos ⁡ ( x 2 )   d x

∫ 0 9 x 2 cos ⁡ ( x 2 )   d x

Agora para integrar em relação a x , vamos chamar u = x 2 , pra facilitar nossa vida. Assim, temos:

d u = 2 x   d x

Substituindo na integral, vai ficar:

∫ 0 9 x 2 1 2 x cos ⁡ ( u ) d u = ∫ 0 9 1 4 cos ⁡ ( u ) d u

Integrando:

1 4 sin ⁡ ( u ) 0 9

Voltando pra nossa variável x , vamos ter:

1 4 sin ⁡ ( x 2 ) 0 9

Aplicando os limites em x :

1 4 sin ⁡ ( 9 2 ) - 1 4 sin ⁡ 0

1 4 sin ⁡ ( 81 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 4 sin ⁡ ( 81 )

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