Calcule onde é a região do primeiro quadrante do plano , limitada pelas curvas , , e .

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Nesse caso, escrever as equações de e de em função das novas variáveis e não é muito simples. Por isso, vamos usar um recurso para facilitar nossa vida, em vez de calcular , vamos calcular (que é o inverso do Jacobiano que queremos).

Temos, então:

Esse valor que encontramos ainda não é o Jacobiano:

Deveríamos, agora, escrever esse Jacobiano em função de e , as nossas novas variáveis. Porém, isso seria trabalho desnecessário, repare que essa expressão é o inverso do que temos na nossa integral.

Digamos que escrevemos em função de e e encontramos uma expressão , teremos:

Como o termo também está na integral, eles se cancelam! A integral passa a ser então:

Agora precisamos descobrir os intervalos de integração no domínio . Lembrando da definição das variáveis:

Muito mais simples, não é? A integral iterada será então:

Integrando em relação a , temos:

Integrando, agora, em relação a :