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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Mudança de variáveis

Encontre a área da figura plana limitada pela curva

2 x 2 + y 2 - 2 x y = a 2

Onde a > 0 é uma constante positiva.

Passo 1

Queremos o seguinte:

A = ∬ D   d x d y

Onde D = 2 x 2 + y 2 - 2 x y ≤ a 2 .

Passo 2

Já deu pra perceber que precisamos fazer uma mudança de variáveis aí né? Para isso, precisamos reescrever essa curva...

Repara que a equação dessa curva é bem parecida com a de uma circunferência:

2 x 2 + y 2 - 2 x y = a 2

Se esse " 2 x y " fosse só " 2 x " ou " 2 y " a gente completava o quadrado e encontrava uma circunferência deslocada.

Tá, e se a gente forçasse isso? Sente só a magia: vamos completar o quadrado em y :

2 x 2 + ( y - x ) 2 = a 2 + x 2

x 2 + ( y - x ) 2 = a 2

WTF né? Também acho, mas espera que já vai fazer sentido, prometo.

Passo 3

Agora, a gente vai fazer a seguinte mudança:^

x = u

y - x = v

Levando para a equação:

u 2 + v 2 = a 2 Olha que lindo, temos uma circunferência de raio a . Como toda e qualquer mudança, precisamos calcular seu Jacobiano:

x = u

y = v + u

∂ x ∂ u = 1

∂ x ∂ v = 0

∂ y ∂ u = 1  

∂ y ∂ v = 1

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = 1 0 1 1 = 1

Passo 4

Agora vamos fazer a mudança:

A = ∬ D   d x d y = ∬ C   1 d u d v

Onde C = u 2 + v 2 ≤ a 2

Passo 5

Show, agora resolvemos essa integral.

A = ∬ C   1 d u d v = Á r e a C = π a 2

Resposta

π a 2

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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .