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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

a) Esboce a região D = { ( x , y ) ∈ R 2 | 1 + x 2 ≤ y ≤ 2 + x 2 ,   y ≥ x + x 2 ,   x ≥ 0 } .

b) Efetuando uma mudança de variáveis apropriada, calcular a integral

∬ D e y - x 2 y - x 2 d x   d y  

Dica: considerar u = y - x 2 e determinar v tal que a mudança de variáveis simplifique o domínio de integração.

Passo 1

Para resolver uma integral por mudança de variável, fazemos:

∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ G f x u , v , y u , v × J d u d v

Onde G é o domínio com a nova mudança de variável e J é o Jacobiano calculado por:

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Passo 2

A questão já nos deu uma dica para a mudança de variável que é utilizar u = y - x 2 . Isso normalmente a gente já faria porque o termo y - x 2 aparece bastante.

Substituindo essa mudança para o domínio temos que:

1 + x 2 ≤ y ≤ 2 + x 2

1 ≤ y - x 2 ≤ 2

1 ≤ u ≤ 2

Falta agora os limites   y ≥ x + x 2 e x ≥ 0

Para resolver podemos usar v = x , porque quando substurimos nosso domínio vai ficar somente em função de u   e v

Realizando a mudança para encontrar v :

y ≥ x + x 2

y - x 2 ≥ x

u ≥ v

E

  x ≥ 0

  v ≥ 0

Então

0 ≤ v ≤ u

Passo 3

Passo 4

Falta calculamos o jacobiano porque toda mudança de variáveis precisa de um jacobiano

Precisamos de x ( u , v ) e y ( u , v ) , ou seja, x e y em função de u e v

u = y - x 2

y = u + v 2

e

x = v

Calculando as parciais

∂ x ∂ u = 0

∂ x ∂ v = 1

∂ y ∂ u = 1

∂ y ∂ v = 2 v

Agora o Jacobiano:

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 0 × 2 v - 1 × 1 = - 1

Passo 5

Agora é só calcular a nossa integral

∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ G f x u , v , y u , v × J d u d v

Obs.: Não se esqueça que aqui entra o módulo do jacobiano! Como nosso Jacobiano é - 1 , seu módulo será 1!

∬ D e y - x 2 y - x 2 d x d y = ∫ 1 2 ∫ 0 u e u u d v d u

Integrando com relação a v :

= ∫ 1 2 e u u v ​ v = 0 v = u d u

= ∫ 1 2 e u u ( u - 0 ) d u

= ∫ 1 2 e u d u = e u ​ u = 1 u = 2

= e 2 - e

Passo 6

Resposta

e 2 - e

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .