A integral iterada ∫ 0 ln ⁡ 3 ∫ 2 x 2 ln ⁡ 3 e y 2 d y d x vale

a) ln ⁡ 3

b) 8

c) 1

d) 81

e) 20

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que calcular a integral ∫ 0 ln ⁡ 3 ∫ 2 x 2 ln ⁡ 3 e y 2 d y d x .

Bora começar? 👀

Se tentássemos calcular essa integral na forma como ela está, seria muito difícil então o que temos que fazer é inverter a ordem de integração.

Porém não basta simplesmente inverter as integrais, temos que adaptar os limites de integração

Portanto a primeira coisa a se fazer é esboçar a região de integração para reescrever os limites de integração.

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

Antes, tínhamos que y = 2 x e y = 2 ln ⁡ 3 eram os limites em y e x = 0 e x = ln ⁡ 3 eram os limites em x .

Esboçando essas curvas, vamos obter

Agora o que temos que fazer é definir os limites em x através de duas funções e em y através de duas constantes.

Vemos que a região em x varia de x = 0 até x = y 2 e em y varia de y = 0 até y = 2 ln ⁡ 3

Assim, nossa nova integral é dada por

∫ 0 2 ln ⁡ 3 ∫ 0 y 2 e y 2 d x d y

Começando integrando com relação a x , temos

∫ 0 y 2 e y 2 d x = x e y 2 x = 0 y 2

∫ 0 y 2 e y 2 d x = y 2 e y 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Integrando y 2 e y 2 pelo método da substituição fazendo u = x 2 e d u = 2 x d x

∫ 0 2 ln ⁡ 3 y 2 e y 2 d y = e y 2 4 y = 0 2 ln ⁡ 3

∫ 0 2 ln ⁡ 3 y 2 e y 2 d y = e 2 ln ⁡ 3 2 4 - e 0 2 4

∫ 0 2 ln ⁡ 3 y 2 e y 2 d y = e 4 ln ⁡ 3 4 - 1 4

Simplificando...

∫ 0 2 ln ⁡ 3 y 2 e y 2 d y = 3 4 4 - 1 4

∫ 0 2 ln ⁡ 3 ∫ 0 y 2 e y 2 d x d y = 20

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

e) 20

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