Calcule a integral, efetuando a mudança de variáveis apropriada

a) ∬ R sin ⁡ ( 9 x 2 + 4 y 2 ) d A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a do primeiro quadrante limitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 1 . Essa região define nossa região de integração, aí em amarelo:

Nós vamos usar as equações de transformação:

u = 3 x   ,     v = 2 y

Assim, teremos:

x = u 3   ,     y = v 2   ,     9 x 2 + 4 y 2 = u 2 + v 2

Além disso, vamos usar a definição:

∬ R f x , y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

Onde ∂ x , y ∂ u , v é o Jacobiano da transformação, que é dado da seguinte forma:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Então, vamos calcular as derivadas parciais de x = u 3 e y = v 2 , tirar esse determinante e substituir na integral junto com os intervalos de integração.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas do nosso Jacobiano.

Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u u 3 = 1 3

E ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v u 3 = 0

Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u v 2 = 0

E por ultimo ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v v 2 = 1 2

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 1 3 0 0 1 2 = 1 6

Passo 4

Show! Agora a gente pode reescrever a integral assim:

∫ ∫ R s e n 9 x 2 + 4 y 2   d A = ∫ ∫ D 1 6 s e n u 2 + v 2   d u   d v

onde D é a parte do disco u 2 + v 2 ≤ 1 no quarto quadrante.

Então, essa integral vai se tornar mais fácil de calcular se passarmos para coordenadas polares, fazendo u = r cos ⁡ θ e v = r sin ⁡ θ :

∫ ∫ D 1 6 s e n u 2 + v 2   d u   d v = ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 1 6 s e n r 2   r d r   d θ

Integrando em relação a u   e v , respectivamente:

= 1 6 ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 1 r   s e n r 2 d r = 1 6 θ 0 π 2 - cos ⁡ r 2 2 0 1

E aplicando os limites de integração:

= 1 6 π 2 - cos ⁡ 1 2 + 1 2

= π 24 ( 1 - cos ⁡ 1 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 24 ( 1 - cos ⁡ 1 )

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