Mudança de variáveis
Considere a integral
Onde .
- Usando a mudança de variáveis , esboce cuidadosamente a região tal que , justificando.
- Calcule a derivada .
- Calcule a integral dada usando a fórmula de mudança de variáveis.
- Cheque o resultado do item (c) calculando a integral nas variáveis .
Passo 1
Letra a)
A mudança que o problema pede nos dá que:
Assim passa a ser
E
Passa a ser
Substituindo em vemos que:
Assim, o outro intervalo que limita nossa região é
Foi? Temos e , graficamente:
Passo 2
Letra b)
Nós temos:
Como
Passo 3
Letra c)
Agora vamos fazer essa mudança de variáveis na ntegral:
Agora é só calcular isso aí
Agora fazemos a substituição ,
Passo 4
Letra d)
Agora vamos calcular a integral sem fazer a mudança de variáveis:
Agora fazemos a substituição ,
Ainda bem que deu a mesma coisa né! Pronto, isso aí gente.
Resposta
- e
Exercícios de Livros Relacionados
Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .