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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Questão 1. Calcule a integral dupla

∬ D   4 x 2 + 4 x y   d A

onde

D = x ,   y ∈ R 2 : 0 ≤ y + x ≤ 3   ,   0 ≤ y - x ≤ 2 .

Passo 1

Bem, repare que nessa integral dupla, a região de integração veio de uma forma bem elegante para nós, pois se fizermos uma mudança de variável, onde:

y + x = u

y - x = v

Os limites das novas variáveis observando o domínio D é...

0 ≤ u ≤ 3

0 ≤ v ≤ 2

Viu só como é uma boa?

Passo 2

Bem, mas realizar uma mudança assim tem um custo, e esse custo é justamente o Jacobiano J . Como temos aqui as novas variáveis em função das antigas:

u = y + x

v = y - x

Fica mais fácil calcular o Jacobiano inverso J * primeiro:

J * = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Calculando cada uma dessas derivadas parciais:

∂ u ∂ x = ∂ y + x ∂ x = 1

∂ u ∂ y = ∂ y + x ∂ y = 1

∂ v ∂ x = ∂ y - x ∂ x = - 1

∂ v ∂ y = ∂ y - x ∂ y = 1

Logo:

J * = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = 1 1 - 1 1 =

2

O Jacobiano J tem uma relação muito legal com o seu inverso... Ele é o inverso :

J = 1 J *

J = 1 2 = 1 2

Lembre-se de que precisamos na real é a do módulo heim, o que aqui não vai mudar muita coisa!

J = 1 2

Passo 3

Bem, antes de retornar a integral dupla, só tem mais uma coisa a fazer... Mudar essa função que estamos integrando, 4 x 2 + 4 x y , pelas novas coordenadas.

Repare que ali podemos colocar em evidência...

4 x 2 + 4 x y = 4 x x + y

x + y = u , então só falta determinar quem é 4 x nas novas coordenas, que é resolver o sistema com a duas equações:

y + x = u y - x = v

Multiplicando por - 1 a de baixo...

y + x = u - y + x = - v

Somando as duas...

2 x = u - v

Como precisamos de 4 x , basta multiplicar por 2 em ambos lados...

4 x = 2 u - v

logo...

4 x 2 + 4 x y = 4 x x + y       →             4 x 2 + 4 x y = 2 u - v u

Passo 4

Agora é só retornar para a integral que buscamos o resultado

∬ D   4 x 2 + 4 x y   d A

e trocar tudo o que determinamos (não esquecendo de multiplicar pelo Jacobiano, heim!)

∫ 0 2 ∫ 0 3 2 u - v u ⋅ J   d u d v =

∫ 0 2 ∫ 0 3 2 u - v u ⋅ 1 2   d u d v =

∫ 0 2 ∫ 0 3 u - v u   d u d v =

∫ 0 2 ∫ 0 3 u 2 - v u   d u d v

Integrando com relação a u ...

∫ 0 2 ∫ 0 3 u 2 - v u   d u d v =

∫ 0 2 u 3 3 - v u 2 2 0 3 d v =

Substituindo em u os limites...

∫ 0 2 3 3 3 - v 3 2 2   d v =

∫ 0 2 9 - v 9 2   d v =

9 v - 9 2 v 2 2 0 2 = 18 - 9 2 2 4 =

9

Resposta

9

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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .