Mudança de Variáveis
Calcule a seguinte integral
é a região do primeiro quadrante, limitada por , , e
Passo 1
Repara que temos e na definição de , ou seja, vai interferir nos limites de integração então vamos fazer
Passo 2
Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.
Nesse caso, escrever as equações de e de em função das novas variáveis e não é muito simples. Por isso, vamos usar um recurso para facilitar nossa vida, em vez de calcular , vamos calcular (que é o inverso do Jacobiano que queremos).
Temos, então:
Esse valor que encontramos ainda não é o Jacobiano:
Deveríamos, agora, escrever esse Jacobiano em função de u e v, mas vamos deixar ele em e por enquanto, escrever essa expressão em função de e é levemente bem complicado rs, mas isso não vai interferir quando colocamos na integral, que tem , elas vão simplificar então vamos deixar assim.
Passo 3
Agora precisamos descobrir os intervalos de integração no domínio .
Muito mais simples, não é?
A integral então fica
Passo 4
Vamos resolver essa integral