Calcule a seguinte integral

∬ D x 2 + y 2 d x d y

D é a região do primeiro quadrante, limitada por x 2 - y 2 = 1 , x 2 - y 2 = 9 , x y = 1 e x y = 3

Passo 1

Repara que temos x 2 - y 2 e x y na definição de D , ou seja, vai interferir nos limites de integração então vamos fazer

u = x 2 - y 2

v = x y

Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Nesse caso, escrever as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v não é muito simples. Por isso, vamos usar um recurso para facilitar nossa vida, em vez de calcular ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = J , vamos calcular ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = J * (que é o inverso do Jacobiano que queremos).

J * = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Temos, então:

∂ u ∂ x = 2 x

∂ u ∂ y = - 2 y

∂ v ∂ x = y

∂ v ∂ y = x

J * = 2 x - 2 y y x = 2 x 2 + 2 y 2

Esse valor que encontramos ainda não é o Jacobiano:

J = 1 J * = 1 2 x 2 + y 2

Deveríamos, agora, escrever esse Jacobiano em função de u e v, mas vamos deixar ele em x e y por enquanto, escrever essa expressão em função de u e v é levemente bem complicado rs, mas isso não vai interferir quando colocamos na integral, que tem x 2 + y 2 , elas vão simplificar então vamos deixar assim.

Passo 3

Agora precisamos descobrir os intervalos de integração no domínio D * .

x 2 - y 2 = 1 → u = 1

x y = 1 → v = 1

x 2 - y 2 = 9 → u = 9

x y = 3 → v = 3

Muito mais simples, não é?

A integral então fica

∫ 1 3 ∫ 1 9 x 2 + y 2 1 2 x 2 + y 2 d u d v = ∫ 1 3 ∫ 1 9 1 2 d u d v

Passo 4

Vamos resolver essa integral

∫ 1 3 ∫ 1 9 1 2 d u d v = ∫ 1 3 1 2 9 - 1 d v = ∫ 1 3 8 2 d v = 4 ∫ 1 3 d v = 4 3 - 1 = 4 ∙ 2 = 8

Resposta

8

Exercícios de Livros Relacionados