Considere a integral
Onde é o paralelogramo delimitado pelas retas , , e .
- Escolha uma mudança de variáveis apropriada (note que . Calcule a derivada .
- Esboce cuidadosamente as regiões de integração , onde .
- Calcule a integral usando a fórmula de mudança de variáveis.
Passo 1
Letra a)
Bom, reparou que e aparecem vezes nessa questão, né? Então é essa mudança que vamos fazer:
Beleza?
Passo 2
Bom, se vamos fazer um mudança de variáveis, precisamos calcular o Jabobiano disso aí. Temos a transformação:
O que nos dá
Como
Passo 3
Letra b)
Agora temos que descobrir nossa região de integração no plano . Sabemos que é o paralelogramo delimitado pelas retas , , e . Fazendo a mudança de variáveis nessas equações, temos:
Graficamente
A região de integração é o interior desse retângulo.
Passo 4
Letra c)
Show, agora vamos escrever matematicamente essa região. Podemos ver pela figura que:
Passo 5
Agora vamos fazer a mudança na nossa integral.
Não se esqueça do Jacobiano!
E resolver isso aí: