Calcule as integrais iteradas:

a) ∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y x y z d x d y d z

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral iterada:

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y x y z d x d y d z

Pra isso, vamos usar o teorema de Fubini para integrais triplas, na forma:

∭ W f x ,   y ,   z d V = ∫ e f ∫ c d ∫ a b f ( x ,   y ,   z ) d x d y d z

Isso quer dizer que vamos integrar por etapas, primeiro em relação a x , depois em relação e y e por fim, em relação a z .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar integrando nossa função f x ,   y , z = x y z primeiro em relação a x :

∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y x y z d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 z x 2 2 y z 0 y d y d z

Aplicando os limites de integração em x , temos:

∫ 0 1 ∫ 0 z y 2 2 y z - 0 2 2 y z d y d z

∫ 0 1 ∫ 0 z y 3 2 z d y d z

Passo 3

Integrando agora em relação a y , vamos ter:

∫ 0 1 ∫ 0 z y 3 2 z d y d z = ∫ 0 1 y 4 8 z 0 z d z

Assim, aplicando os limites de integração em y :

∫ 0 1 z z 4 8 - 0 4 8 d z

∫ 0 1 z 5 8 d z

Colocando a constante do lado de fora da integral:

= 1 8 ∫ 0 1 z 5 d z

Passo 4

Por fim, integrando em relação a z , vamos ter:

1 8 ∫ 0 1 z 5 d z = 1 8 z 6 6 0 1

Aplicando os limites de integração em z :

1 8 1 6 6 - 0 6 6

= 1 8 1 6 = 1 4 8

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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