Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:

a) ∫ 0 1 ∫ 3 y 3 e x 2 d x d y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente inverter a ordem de integração e calcular a integral dupla dada. Pra inverter a ordem de integração, a gente precisa inverter os limites de integração e a melhor forma de visualizar isso é observando o gráfico da região dada pelos limites. Nesse caso, temos:

A gente vai tentar escrever nossa integral com d y d x , então temos que olhar primeiro como y varia e verificar, em seguida, como x varia no gráfico. Assim, vamos calcular nossa nova integral.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando nosso gráfico, a gente percebe que x varia de 0 até 3 e que y varia de 0 até a reta x = 3 y ou y = x 3 . Assim:

0 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ x 3

Então, montando nossa integral, temos:

∫ 0 1 ∫ 3 y 3 e x 2 d x d y = ∫ 0 3 ∫ 0 x / 3 e x 2 d y d x

Assim, integrando primeiro em relação a y :

∫ 0 3 y e x 2 0 x / 3 d x

Aplicando os limites de integração de y :

∫ 0 3 x 3 e x 2   d x

Agora para integrar em relação a x , vamos chamar u = x 2 , pra facilitar nossa vida. Assim, temos:

d u = 2 x   d x

Substituindo na integral, vai ficar:

∫ 0 3 x 3 1 2 x   e u   d u = ∫ 0 3 1 6   e u   d u

Integrando:

1 6 e u 0 3

Voltando pra nossa variável x , vamos ter:

1 6 e x 2 0 3

Aplicando os limites em x :

1 6 e 3 2 - e 0 = 1 6 ( e 9 - e 0 )

1 6 ( e 9 - 1 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 6 ( e 9 - 1 )

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