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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Calcule ∬ D x + y 2 x + 1 d x d y onde D é a região no primeiro quadrante do plano x y limitada pelas curvas y = x 2 , y = x 2 + 1 , x + y = 1 e x + y = 2

Passo 1

Vamos começar analisando a região de integração: o enunciado diz que a região é limitada por duas retas x + y = 1 e x + y = 2 e por duas parábolas, y = x 2 e y = x 2 + 1 .

Perceba que os termos x + y e y = x 2 se repetem nos limites, certo? Vamos pensar em uma substituição que nos ajude aqui. Organizando as equações das parábolas:

y = x 2 → y - x 2 = 0

y = x 2 + 1 → y - x 2 = 1

Portanto, considerando as retas x + y = 1 e x + y = 2 e as parábolas y - x 2 = 0 e y - x 2 = 1 , podemos fazer essa substituição aqui

u = x + y

v = y - x 2

Pra fazer isso lembra do que precisamos? Do jacobiano! Nunca se esqueça dele hein!

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Mas lembre-se dessa definição aqui

J = 1 J '

Onde

J ' = ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Vai ficar mais fácil derivar assim, vem comigo!

u = x + y

∂ u ∂ x = 1

∂ u ∂ y = 1

v = y - x 2

∂ v ∂ x = - 2 x

∂ v ∂ y = 1

J ' = 1 1 - 2 x 1 = 1 - - 2 x = 1 + 2 x

Finalizando, o jacobiano é o inverso disso, logo

J = 1 J ' = 1 1 + 2 x

Passo 2

Bom, agora que já está tudo organizado, vamos ver os limites de u e v . A região de integração vai de x + y = 1 até x + y = 2 , logo

x + y = 1 → u = 1

x + y = 2 → u = 2

1 ≤ u ≤ 2

Olhando pras parábolas, a região vai de y - x 2 = 0 até y - x 2 = 1 , logo

y - x 2 = 0 → v = 0

y - x 2 = 1 → v = 1

0 ≤ v ≤ 1

Passo 3

Vamos colocar tudo logo na integral pra ver como fica

∬ D x + y 2 x + 1 d x d y

Colocando o jacobiano e mudando as variáveis

∫ 0 1 ∫ 1 2 x + y ⏟ u 2 x + 1 1 2 x + 1 ⏟ J a c o b i a n o d u d v

Olha só! O termo x + y aparece de novo, lembra que definimos u = x + y . Além disso, o jacobiano corta com o 2 x + 1 que tava dentro da integral!

Vai ficar bem mais simples a integral

∫ 0 1 ∫ 1 2 u d u d v

Passo 4

Agora é só integrar! Vamos lá?

∫ 0 1 u 2 2 u = 1 u = 2 d v = ∫ 0 1 4 - 1 2 d v

= ∫ 0 1 3 2 d v

= 3 2 v v = 0 v = 1

= 3 2

Resposta

3 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .