USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 8e
Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:
e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente inverter a ordem de integração e calcular a integral dupla dada. Pra inverter a ordem de integração, a gente precisa inverter os limites de integração e a melhor forma de visualizar isso é observando o gráfico da região dada pelos limites. Nesse caso, temos:
A gente vai tentar escrever nossa integral com , então temos que olhar primeiro como varia e verificar, em seguida, como varia no gráfico. Assim, vamos calcular nossa nova integral.
Vamos lá!
Passo 2
Olhando nosso gráfico, a gente percebe que varia de até 1 e que vai da curva até a reta . Assim, temos:
Então, montando nossa integral, temos:
Assim, integrando primeiro em relação a :
Aplicando os limites de integração em :
Passo 3
Agora para integrar em relação a , vamos começar separando essa diferença em duas integrais:
Vamos resolver as duas separadamente, pra ficar mais fácil de visualizar. Então, primeiro vamos chamar na integral e resolver por substituição. Assim, temos:
Então, substituindo na integral, vai ficar:
Integrando agora, temos:
Voltando pra nossa variável , vamos ter:
Aplicando os limites de integração em :
Passo 4
Agora para resolver , vamos tentar também uma substituição, fazendo e . Assim, temos:
Ainda não dá pra gente integrar diretamente, porque temos um produto de funções. Então, vamos usar a integração por partes:
Dessa forma, vamos definir e , de maneira que teremos:
Substituindo na integral, usando a fórmula da integral por partes, temos:
Assim, vamos obter:
Aplicando os limites de integração:
Então, juntando com o resultado do passo , nossa integral em relação a será:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉