Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:

e) ∫ 0 1 ∫ y y 3 sin ⁡ ( x 2 ) d x d y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente inverter a ordem de integração e calcular a integral dupla dada. Pra inverter a ordem de integração, a gente precisa inverter os limites de integração e a melhor forma de visualizar isso é observando o gráfico da região dada pelos limites. Nesse caso, temos:

A gente vai tentar escrever nossa integral com d y d x , então temos que olhar primeiro como x varia e verificar, em seguida, como y varia no gráfico. Assim, vamos calcular nossa nova integral.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando nosso gráfico, a gente percebe que x varia de 0 até 1 e que y vai da curva y = x 3 até a reta y = x . Assim, temos:

0 ≤ x ≤ 1

x 3 ≤ y ≤ x

Então, montando nossa integral, temos:

∫ 0 1 ∫ y y 3 sin ⁡ ( x 2 ) d x d y = ∫ 0 1 ∫ x 3 x sin ⁡ ( x 2 ) d y d x

Assim, integrando primeiro em relação a y :

∫ 0 1 y x 3 x sin ⁡ ( x 2 ) d x

Aplicando os limites de integração em y :

∫ 0 1 ( x - x 3 ) sin ⁡ ( x 2 ) d x

Passo 3

Agora para integrar em relação a x , vamos começar separando essa diferença em duas integrais:

∫ 0 1 ( x - x 3 ) sin ⁡ ( x 2 ) d x = ∫ 0 1 x sin ⁡ ( x 2 ) d x - ∫ 0 1 x 3 sin ⁡ ( x 2 ) d x

Vamos resolver as duas separadamente, pra ficar mais fácil de visualizar. Então, primeiro vamos chamar u = x 2 na integral ∫ 0 1 x sin ⁡ ( x 2 ) d x e resolver por substituição. Assim, temos:

d u = 2 x   d x → d u 2 = x   d x

Então, substituindo na integral, vai ficar:

∫ 0 1 x sin ⁡ ( x 2 ) d x = 1 2 ∫ 0 1 sin ⁡ ( u ) d u

Integrando agora, temos:

1 2 [ - cos ⁡ u ] 0 1

Voltando pra nossa variável x , vamos ter:

1 2 - cos ⁡ x 2 0 1

Aplicando os limites de integração em x :

1 2 - cos ⁡ 1 2 + cos ⁡ 0

= 1 2 ( - cos ⁡ 1 + 1 )

Passo 4

Agora para resolver ∫ 0 1 x 3 sin ⁡ ( x 2 ) d x , vamos tentar também uma substituição, fazendo t = x 2 e d t 2 = x d x . Assim, temos:

∫ 0 1 x 2 sin ⁡ ( x 2 ) x   d x = 1 2 ∫ 0 1 t sin ⁡ ( t ) d t

Ainda não dá pra gente integrar diretamente, porque temos um produto de funções. Então, vamos usar a integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Dessa forma, vamos definir u = t e d v = sin ⁡ ( t ) , de maneira que teremos:

d u = d t

v = ∫ d v = - cos ⁡ t

Substituindo na integral, usando a fórmula da integral por partes, temos:

1 2 ∫ 0 1 t sin ⁡ t d t = 1 2 - t cos ⁡ t + ∫ 0 1 cos ⁡ t d t

Assim, vamos obter:

1 2 [ - t cos ⁡ t + sin ⁡ t ] 0 1

Aplicando os limites de integração:

1 2 [ - 1 cos ⁡ 1 + sin ⁡ 1 + 0 - sin ⁡ 0 ] = 1 2 [ - cos ⁡ 1 + sin ⁡ 1 ]

Então, juntando com o resultado do passo 3 , nossa integral em relação a x será:

∫ 0 1 ( x - x 3 ) sin ⁡ ( x 2 ) d x = 1 2 ( - cos ⁡ 1 + 1 ) - 1 2 - cos ⁡ 1 + sin ⁡ 1

= 1 2 1 - sin ⁡ ( 1 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 2 1 - sin ⁡ ( 1 )

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