Use a mudança de coordenadas

x = 2 u + v + 1 ,     y = u + 3 v + 1

para calcular a integral

I = ∫ ∫ B e x - y d A ,

Onde R é o polígono de vértices 1,1 ,   3,2 , 4,5 e 2,4 .

Passo 1

Cara, ele deu os vértices de um polígono em x , y , que é nosso domínio B . E deu a mudança de coordenadas

x = 2 u + v + 1 ,     y = u + 3 v + 1

A primeira coisa que a gente precisa fazer é entender como esse domínio B fica quando passa por essa transformação. Qual é a cara dele no plano u , v ? Sabendo isso, a gente consegue limitar as variáveis u e v , para termos nossos extremos de integração, beleza?

Uma forma de fazer isso, é achar a imagem dos pontos que temos em x , y no plano u , v . E como a gente pode fazer isso? Cara, a gente precisa das expressões para u e v em função de x , y . Vamos achar elas através das expressões que a gente tem.

A gente monta um sisteminha com as expressões da mudança de coordenadas. E queremos achar u em função de x , y e v em função de x , y .

x = 2 u + v + 1 y = u + 3 v + 1

Se a gente multiplicar a de baixo por - 2 e somar as duas equações que ficarem:

x = 2 u + v + 1 - 2 y = - 2 u - 6 v - 2 ∴ x - 2 y = 0 - 5 v - 1 ∴ v = 2 y - x - 1 5

Agora voltando para o primeiro sisteminha, a gente pode multiplicar a equação de cima por - 3 :

- 3 x = - 6 u - 3 v - 3 y = u + 3 v + 1 ∴ - 3 x + y = - 5 u + 0 - 2 ∴ u = 3 x - y - 2 5

Prontinho, achamos as expressões que a gente queria:

u = 3 x - y - 2 5 ,     v = 2 y - x - 1 5  

Passo 2

Agora é achar como é a cara de B quando passa por essa tranformação, e vira um domínio em u , v . Como a gente faz isso? Cara, vamos jogar cada pontinho de x , y que a gente tem nessas expressões. E assim, a gente acha novos ponto em u , v .

- Ponto x , y = 1,1 :

u = 3 x - y - 2 5 ,     v = 2 y - x - 1 5

u = 3 - 1 - 2 5 = 0 ,     v = 2 - 1 - 1 5 = 0

Daí a gente tira o ponto u , v = 0,0 .

- Ponto x , y = 3,2 :

u = 3 ⋅ 3 - 2 - 2 5 = 1 ,     v = 2 ⋅ 2 - 3 - 1 5 = 0

Daí a gente tira o ponto u , v = 1,0 .

- Ponto x , y = 4,5 :

u = 3 ⋅ 4 - 5 - 2 5 = 1 ,     v = 2 ⋅ 5 - 4 - 1 5 = 1

Daí a gente tira o ponto u , v = 1,1 .

- Ponto x , y = 2,4 :

u = 3 ⋅ 2 - 4 - 2 5 = 0 ,     v = 2 ⋅ 4 - 2 - 1 5 = 1

Daí a gente tira o ponto u , v = 0,1 .

Achamos então um novo polígono com vértices em 0,0 , 1,0 , ( 0,1 ) e 1,1 . Olha como é o desenho dele:

Olha que alegria: nosso domínio ficou retangular nesse plano! Então a gente pode limitar nossas duas variáveis entre constantes, dessa forma:

0 ≤ u ≤ 1 ,     0 ≤ v ≤ 1

Passo 3

Mas já que falamos de mudança de variáveis, a gente precisa calcular o jacobiano dessa mudança!

x = 2 u + v + 1 ,     y = u + 3 v + 1

J = ∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

J = ∂ x , y ∂ u , v = 2 1 1 3 = 6 - 1 = 5

E módulo dele fica

J = 5

Passo 4

Com os extremos de integração e o jacobiano, a única peça que falta é mudar as variáveis do integrando. A gente vai sair de x , y e ir para u , v .

Nossa integral é

I = ∫ ∫ B e x - y d A

E nosso integrando é

e x - y

Aí para transformar ele numa função de u , v , é só usarmos nossas expressões para a mudanças de variáveis:

x = 2 u + v + 1 ,     y = u + 3 v + 1

Substituindo no integrando

e 2 u + v + 1 - u - 3 v - 1 = e u - 2 v

Prontinho!

Passo 5

Agora vamos montar a nossa integral, a gente multiplica esse integrando por J = 5 e coloca os extremos de integração:

I = ∫ ∫ B e x - y d A

e u - 2 v

0 ≤ u ≤ 1 ,     0 ≤ v ≤ 1

I = ∫ 0 1 ∫ 0 1 5 e u - 2 v d u d v

Passo 6

Agora é calcular essa belezinha

I = ∫ 0 1 ∫ 0 1 5 e u - 2 v d u d v

Vamos usar uma propriedade de potência para reescrever esse integrando

I = ∫ 0 1 ∫ 0 1 5 e u e - 2 v d u d v

Como a gente vai integrar em relação a u , podemos tirar esse termo em v da integral:

I = ∫ 0 1 5 e - 2 v ∫ 0 1 e u d u d v = ∫ 0 1 5 e - 2 v e u 0 1 d v = ∫ 0 1 5 e - 2 v e - 1 d v

I = 5 e - 1 ∫ 0 1 e - 2 v d v

Agora, fazendo uma substituição simples t = - 2 v , achamos:

I = 5 e - 1 e - 2 v - 2 0 1 = 5 e - 1 - 1 2 e - 2 + 1 2

I = 5 e - 1 1 - e - 2 2

Resposta

I = 5 e - 1 1 - e - 2 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .