Seja D : x , y ∈ R 2 : x + y ≤ 2 ,   x , y ≥ 0 . Calcule

∬ D   x + y 2 e ( x + y ) ( y - x ) d x d y

Passo 1

Bom, já deu pra perceber que temos ( x + y ) algumas vezes na questão, não é? Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis então:

x + y = u

y = v

Isso vai simplificar bastante a região de integração.

Passo 2

Como toda e qualquer mudança, precisamos de um Jacobiano:

y = v

x = u - v

∂ x ∂ u = 1

∂ x ∂ v = - 1

∂ y ∂ u = 0

∂ y ∂ v = 1

J = 1 - 1 0 1 = 1

Passo 3

Agora, vamos fazer um gráfico desse domínio D para podermos encontrar o novo domínio.

D é esse triângulo:

Olhando para essa figura, podemos escrever que:

0 ≤ x ≤ 2 - y

0 ≤ y ≤ 2

O que nos dá:

y ≤ x + y ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

Ou seja

v ≤ u ≤ 2

0 ≤ v ≤ 2

Passo 4

Agora vamos levar tudo o que achamos para a integral e fazer a mudança de variáveis:

∬ D   x + y 2 e ( x + y ) ( y - x ) d x d y = ∫ 0 2 ∫ v 2 u 2 e u v - u + v × 1 d u d v

= ∫ 0 2 ∫ v 2 u 2 e u 2 v - u d u d v =

Passo 5

Agora vamos resolver isso aí. Vamos começar invertendo essa ordem de integração.

A região

v ≤ u ≤ 2

0 ≤ v ≤ 2

Passa a ser

0 ≤ v ≤ u

0 ≤ u ≤ 2

= ∫ 0 2 ∫ 0 u u 2 e 2 u v - u 2 d v d u =

= ∫ 0 2 u 2 2 u e 2 u v - u 2 0 u d u =

= 1 2 ∫ 0 2 u e 2 u 2 - u 2 - e - u 2 d u =

= 1 2 ∫ 0 2 u e u 2 - e - u 2 d u =

= 1 2 ∫ 0 2 u e u 2 - u e - u 2 d u =

= 1 2 1 2 e u 2 + 1 2 e - u 2 0 2 =

= 1 2 1 2 e 4 + 1 2 e - 4 - 1 2 - 1 2 =

= 1 4 - 2 + e - 4 + e 4 =

Resposta

1 4 - 2 + e - 4 + e 4

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