Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:

c) ∫ 0 1 ∫ arcsin ⁡ y π / 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x d y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente inverter a ordem de integração e calcular a integral dupla dada. Pra inverter a ordem de integração, a gente precisa inverter os limites de integração e a melhor forma de visualizar isso é observando o gráfico da região dada pelos limites. Nesse caso, temos:

A gente vai tentar escrever nossa integral com d y d x , então temos que olhar primeiro como y varia e verificar, em seguida, como x varia no gráfico. Assim, vamos calcular nossa nova integral.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando nosso gráfico, a gente percebe que x varia de 0 até π 2 e que y vai de 0 até a curva x = arcsin ⁡ y ou y = sin ⁡ x . Assim, temos:

0 ≤ x ≤ π 2

0 ≤ y ≤ sin ⁡ x

Então, montando nossa integral, temos:

∫ 0 1 ∫ arcsin ⁡ y π / 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x d y = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 sin ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x

Assim, integrando primeiro em relação a y :

∫ 0 π / 2 y 0 sin ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Aplicando os limites de integração em y :

∫ 0 π / 2 sin ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x   d x

Passo 3

Agora para integrar em relação a x , vamos primeiro simplificar um pouco nossa expressão, usando a identidade trigonométrica 1 2 sin ⁡ ( 2 x ) = sin ⁡ x cos ⁡ x :

∫ 0 π / 2   1 2 sin ⁡ ( 2 x ) 1 + cos 2 ⁡ x   d x

Agora vamos chamar u = 1 + cos 2 ⁡ x , pra facilitar nossa vida na hora de integrar. Assim, temos:

d u = - sin ⁡ 2 x 2 1 + cos 2 ⁡ x   d x

Como a gente definiu u = 1 + cos 2 ⁡ x , nossa derivada é na verdade:

- 2 1 + cos 2 ⁡ x d u = sin ⁡ ( 2 x ) d x

- 2 u   d u = sin ⁡ 2 x   d x

Então, substituindo na integral, vai ficar:

∫ 0 π / 2   1 2 u ( - 2 u )   d u = ∫ 0 π / 2 - u 2 d u

Integrando agora, temos:

- u 3 3 0 π / 2

Voltando pra nossa variável x , vamos ter:

- 1 + cos 2 ⁡ x 3 3 0 π / 2 = - 1 + cos 2 ⁡ x 3 / 2 3 0 π / 2

Aplicando os limites de integração em x :

- 1 + cos 2 ⁡ π 2 3 2 3 + 1 + cos 2 ⁡ 0 3 / 2 3

Como cos 2 ⁡ π 2 = 0 e cos 2 ⁡ 0 = 1 , vamos obter:

- 1 3 + 2 3 2 3 = - 1 3 + 8 3

= 2 2 - 1 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 2 - 1 3

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