Calcule a integral, efetuando a mudança de variáveis apropriada

a) ∬ R x - 2 y 3 x - y d A , onde R é o paralelogramo limitado pelas curvas x - 2 y = 0 , x - 2 y = 4 , 3 x - y = 1 e 3 x - y = 8 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região limitada pelas curvas x - 2 y = 0 , x - 2 y = 4 , 3 x - y = 1 e 3 x - y = 8 . Essas retas definem nossa região de integração, aí em amarelo:

Nós vamos usar as equações de transformação:

u = x - 2 y   ,     v = 3 x - y

Se resolvermos essas equações como se fosse um sistema, encontramos:

x = 1 5 2 v - u   ,     y = 1 5 v - 3 u

Além disso, vamos usar a definição:

∬ R f x , y d A = ∬ S f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v d A

Onde ∂ x , y ∂ u , v é o Jacobiano da transformação, que é dado da seguinte forma:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u   ∂ x ∂ v   ∂ y ∂ u   ∂ y ∂ v  

Então, vamos calcular as derivadas parciais de x = 1 5 2 v - u e y = 1 5 v - 3 u , tirar esse determinante e substituir na integral junto com os intervalos de integração.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas do nosso Jacobiano.

Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u 2 v 5 - u 5 = - 1 5

E ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v 2 v 5 - u 5 = 2 5

Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u 1 5 v - 3 u 5 = - 3 5

E por último ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v 1 5 v - 3 u 5 = 1 5

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x ∂ u   ∂ x ∂ v   ∂ y ∂ u   ∂ y ∂ v   = - 1 5   2 5   - 3 5   1 5   = 1 5

Passo 4

Agora estamos prontos para calcular a integral nas novas variáveis:

∬ R x - 2 y 3 x - y d A = ∫ 0 4 ∫ 1 8 u v   1 5   d v   d u

= 1 5 ∫ 0 4 u d u ∫ 1 8 1 v   d v

Integrando em relação a u   e v , respectivamente:

= 1 5 u 2 2 0 4 l n l n   v   1 8

E aplicando os limites de integração:

= 1 5 8 l n l n   8  

= 8 5 l n l n   8  

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

8 5 l n l n   8  

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