UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 17a
Calcule a integral, efetuando a mudança de variáveis apropriada
a) , onde é o paralelogramo limitado pelas curvas , , e .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região limitada pelas curvas , , e . Essas retas definem nossa região de integração, aí em amarelo:
Nós vamos usar as equações de transformação:
Se resolvermos essas equações como se fosse um sistema, encontramos:
Além disso, vamos usar a definição:
Onde é o Jacobiano da transformação, que é dado da seguinte forma:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de e , tirar esse determinante e substituir na integral junto com os intervalos de integração.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas do nosso Jacobiano.
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E por último é a derivada de em função de :
Passo 3
Pronto, agora é só substituir e calcular:
Passo 4
Agora estamos prontos para calcular a integral nas novas variáveis:
Integrando em relação a e , respectivamente:
E aplicando os limites de integração:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉