Calcule a integral dupla
Onde é o paralelogramo de vértices , , e . Considere a mudança de variáveis e .
Passo 1
Bom, se vamos fazer um mudança de variáveis, precisamos calcular o Jabobiano disso aí. Temos a transformação:
Rearranjando isso, obtemos:
O que nos dá:
Fazendo o Jacobiano:
Passo 2
Agora temos que descobrir nossa região de integração no plano . Sabemos que no plano , temos os pontos , , e . Aplicando
Encontramos os pontos
Graficamente:
A região de integração é a que está dentro desse quadrado.
Passo 3
Show, agora vamos escrever matematicamente essa região. Bom, como é um quadrado, é tranquilo, podemos ver pela figura que:
Passo 4
Agora vamos fazer a mudança na nossa integral.
Não se esqueça do Jacobiano!
E resolver isso aí: