Calcule usando mudança de coordenadas:

b) ∬ R cos ⁡ π ( y - x ) 4 ( y + x ) d y d x , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas x + y = 1 e x + y = 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular uma integral meio estranha em um domínio limitado por retas. Isso é a dica para a gente usar uma mudança de variáveis linear!

Como assim? Mudança de variáveis linear é quando a gente aplica uma mudança com express��es assim no nosso domínio:

u = a x + b y ,     v = c x + d y

Onde a , b , c , d são constantes. A ideia é que essa mudança vai deixar nosso integrando bonito e vai transformar nosso domínio mais fácil de integrar. Vamos usar isso então! Mas que expressões podemos testar para u e v ? Vamos ver isso pelo integrando:

cos ⁡ π ( y - x ) 4 ( y + x )

Seria melhor se fosse u / v , né? Então, podemos fazer:

u = y - x

v = y + x

Agora é ver se ela funciona bem no domínio. Vamos lá!

Passo 2

Para a mudança u = y - x e v = y + x , somando as expressões, teremos:

u + v = y - x + y + x

→ u + v = 2 y

Substraindo as expressões, teremos:

u - v = y - x - y - x

→ u - v = - 2 x

Portanto:

x = - u + v 2 y = u + v 2

Passo 3

Pronto, já escolhemos nossa substituição, agora vamos calcular seu Jacobiano:

J = ∂ x , y ∂ u . v

Temos:

∂ x ∂ u = - 1 2

∂ x ∂ v = 1 2

∂ y ∂ u = - 1 2

∂ y ∂ v = 1 2

Assim:

J = ∂ x ,   y ∂ u ,   v = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ u ∂ y = - 1 2 1 2 1 2 1 2 = - 1 2

Em módulo:

J = 1 2

Passo 4

Agora vamos calcular os novos intervalos. Antes tínhamos x + y = 1 , x + y = 2 e os eixos coordenados x = 0 e y = 0 limitando nossa região de integração. Vamos substituir as novas variáveis nessas expressões:

x = 0 → u - v = 0 → u = v

y = 0 → u + v = 0 → u = - v

- u + v 2 + u + v 2 = 1 → 2 v = 2 → v = 1

- u + v 2 + u + v 2 = 2 → 4 v = 2 → v = 2

No plano u v , essas expressões definem a seguinte região:

Então, como podemos ver, temos os intervalos:

1 ≤ v ≤ 2

- v ≤ u ≤ v

Passo 5

Então, montando nossa integral, vai ficar:

1 2 ∫ 1 2 ∫ - v v cos ⁡ π ( u ) 4 ( v ) d u d v

Vamos usar a substituição simples t = π u 4 v , assim:

d t = π 4 v   d u → d u = 4 v π

Além disso, quando t = - v , temos u = - π 4 e quando t = v , temos u = π 4 . Então, vai ficar:

1 2 ∫ 1 2 ∫ - π 4 π 4 4 v π cos ⁡ t d t d v

= 2 π ∫ 1 2 v sin ⁡ ( t ) - π / 4 π / 4 d v = 2 2 π ∫ 1 2 v d v

Calculando agora em relação a v e aplicando os intervalos:

= 2 2 π v 2 2 1 2

= 2 2 π 4 2 - 1 2 = 3 2 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

3 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .