Calcule

∬ D 3 x + 2 y 2 cos ⁡ 9 x 2 - 4 y 2 d x d y

Sendo D a região do plano limitada por 3 x + 2 y = 1 , 3 x + 2 y = 2 , x = 0 , y = 0 .

Passo 1

Parece bem difícil essa integral né? Mas perceba que o termo ( 3 x + 2 y ) aparece tanto na integral quanto nos limites de integração, isso já nos faz imaginar que vamos ter que fazer uma mudança de variável!

O que vamos fazer agora é a parte chave da questão! Escolher as novas variáveis da forma certa vai facilitar muito nosso trabalho, precisamos analisar tudo no nosso enunciado antes de tomar uma decisão.

Perceba que o outro termo da integral, 9 x 2 - 4 y 2 , pode ser escrito novamente da seguinte forma:

9 x 2 - 4 y 2 = ( 3 x + 2 y ) ( 3 x - 2 y )

Ótimo! Nosso termo ( 3 x + 2 y ) apareceu de novo, só que multiplicado por ( 3 x - 2 y ) . Não é problema, só fazer:

u = 3 x + 2 y

v = 3 x - 2 y

Somando as duas equações:

u + v = 6 x → x = u + v 6

y = u - v 4

Passo 2

Agora que escolhemos nossas novas variáveis, o próximo passo é calcular o jacobiano:

J = δ x , y δ u , v = δ x δ u δ x δ v δ y δ u δ y δ v = 1 6 1 6 1 4 - 1 4

J = - 1 24 - 1 24 = - 1 12

Só que lembra que jacobiano sempre é positivo! Logo

J = 1 12

Passo 3

Vamos descobrir nossos limites em u e v , é só substituir nossas variáveis nos limites que tínhamos antes:

3 x + 2 y = 1 → u = 1

3 x + 2 y = 2 → u = 2

x = 0 → u + v 6 = 0 → u = - v

y = 0 → u - v 4 = 0 → u = v

No gráfico vamos ter:

Portanto, temos nossos novos limites como:

- u ≤ v ≤ u

1 ≤ u ≤ 2

Passo 4

Reescrevendo nossa integral com os novos limites e o jacobiano:

∫ 1 2 ∫ - u u u 2 cos ⁡ u v d v d u 12  

Passo 5

Vamos integrar em v primeiro então:

1 12 ∫ 1 2 u 2 sen ⁡ u v u v = - u v = u d u = 1 12 ∫ 1 2 u sen ⁡ u 2 - sen ⁡ - u 2 d u

Para facilitar nossas contas, vamos usar a relação que diz que sen ⁡ ( - x ) = - sen ⁡ x

1 12 ∫ 1 2 u sen ⁡ u 2 + sen ⁡ u 2 d u = 1 6   ∫ 1 2 u sen ⁡ ( u 2 ) d u

Integrando em u agora, vamos fazer uma substituição rápida:

u 2 = p

2 u   d u = d p → u d u = d p 2

= 1 6 ∫ u = 1 u = 2 sen ⁡ p   d p 2 = 1 12 - cos ⁡ u 2 u = 1 u = 2

= 1 12 - cos ⁡ 2 2 - cos ⁡ 1 2 = cos ⁡ 1 - cos ⁡ 4 12

Resposta

cos ⁡ 1 - cos ⁡ 4 12

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .