Mudança de variáveis
Calcule , onde é limitado por , , , .
Passo 1
Bom, não dá para integrar isso aí direto, né? Precisamos mexer em alguma coisa nessa integral. Vamos parar para pensar um pouco aqui, tentar encontrar uma substituição que simplifique nossas vidas.
Percebeu que o termo aparece algumas vezes nessa questão, não é? Vamos chamar ele de :
Bom, como as equações que definem a região de integração envolvem e , vamos fazer:
Pois , ok?
Passo 2
As equações que limitam passam a ser:
Logo, nossa região de integração no plano é , .
Passo 3
Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação, temos:
Isso nos dá
Passo 4
Fazendo a substituição na integral, temos, então:
Passo 5
Integrando em relação a , temos:
Passo 6
Agora integramos em relação a :
Resposta
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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .