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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Mudança de variáveis

Calcule

∬ B   x y 2 d x d y

Onde

B = { ( x , y ) ∈ R : 1 ≤ x y ≤ 2 ,   x 2 ≤ y ≤ 2 x 2 }

Sugestão: considere a mudança de variáveis satisfazendo u = y x 2 e v = x y .

Passo 1

Bom, como o problema já disse a susbtituição que devemos fazer, vamos calcular o jacobiano dessa transformação.

Nesse caso, escrever as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v é meio chato. Vamos usar então um recurso pra facilitar a vida, em vez de calcular ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = J , vamos calcular ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = J * (que é o inverso do Jacobiano que queremos).

J * = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Temos, então:

∂ u ∂ x = - 2 y x 3

∂ u ∂ y = 1 x 2

∂ v ∂ x = y

∂ v ∂ y = x

J * = - 2 y x 3 1 x 2 y x = - 2 y x 2 - y x 2 = - 3 y x 2

Esse valor que encontramos ainda não é o Jacobiano:

J = 1 | J * | = - x 2 3 y

Deveríamos, agora, escrever esse Jacobiano em função de u e v , as nossas novas variáveis. Como u = y x 2 , ficou fácil, né?

J = 1 3 u

Passo 2

Agora vamos calcular os novos intervalos. Temos: B = { ( x , y ) ∈ R : 1 ≤ x y ≤ 2 ,   x 2 ≤ y ≤ 2 x 2 }

Com a seguinte substituição:

u = y x 2

v = x y

O que nos dá:

1 ≤ v ≤ 2

Escrevendo

1 ≤ y x 2 ≤ 2

Temos que

1 ≤ u ≤ 2

Bem mais simples, né? Temos seguinte região:

B * = { ( x , y ) ∈ R : 1 ≤ u ≤ 2 ,   1 ≤ v ≤ 2 }

Passo 3

Agora vamos montar a nova integral em termos de u e v :

∬ B   x y 2 d x d y

Sabemos que u = y x 2 e v = x y , logo, podemos escrever:

x y 2 = 1 u v = x 2 y . 1 x y

nOssa integral fica então:

= ∫ 1 2   ∫ 1 2 1 u v 1 3 u d u d v =

Não se esqueça do jacobiano!

= 1 3 ∫ 1 2   ∫ 1 2 1 u 2 v d u d v =

Passo 4

Integraremos, então, em relação a u :

= - 1 3 ∫ 1 2   1 u v 1 2 d v =

= - 1 3 ∫ 1 2 1 v 1 2 - 1 d v =

= 1 6 ∫ 1 2 1 v d v =

Passo 5

Agora em relação a v :

= 1 6 ln ⁡ v 1 2 =

= ln ⁡ 2 6

Resposta

ln ⁡ 2 6

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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .