Calcule a integral

∫ ∫ D e x 2 - y 2 d A

Onde D =   { ( x ,   y )   ∈   R 2 |   y   +   1   ≤   x   ≤   y   +   2 ,   y 2   −   1   ≤   x 2   ≤   y 2   +   1 } .

Sugestão: utilize a mudança de variável u   =   x   +   y   e   v   =   x   −   y .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálc 2. Nosso objetivo é calcular a integral

∫ ∫ D e x 2 - y 2 d A

Onde D =   { ( x ,   y )   ∈   R 2 |   y   +   1   ≤   x   ≤   y   +   2 ,   y 2   −   1   ≤   x 2   ≤   y 2   +   1 } .

E temos a dica utilize a mudança de variável u   =   x   +   y   e   v   =   x   −   y

Passo 2

Vamos usar a nossa dica, e reescrever nosso domínio. Como

u   =   x   +   y   e   v   =   x   −   y

Então,

D = {   y   +   1   ≤   x   ≤   y   +   2 ,   y 2   −   1   ≤   x 2   ≤   y 2   +   1 }

Logo

D * =   1   ≤   v   ≤   2 ,   y 2   −   1   ≤   v u   ≤   1 }

Esse domínio é bem mais simples. Vamos desenhar:

Passo 3

Agora podemos resolver nossa integral. Como sabemos nosso novo domínio, e como

u   =   x   +   y   e   v   =   x   −   y

Fazendo o determinante da matriz jacobiana obtemos:

| J | = 1 / 2

D * =   1   ≤   v   ≤   2 ,   y 2   −   1   ≤   v u   ≤   1 }

Logo, nossa integral fica:

∫ ∫ D e x 2 - y 2 d A = 1 2 ∫ ∫ D * e x y d A  

= 1 2 ∫ 1 2 ∫ - 1 / v 1 / v e u v d u d v

Integrando, temos:

= 1 2 ∫ 1 2 1 v e u v | u = 1 / v u = - 1 / v d v

= 1 2 ∫ 1 2 e v - 1 e v d v

Integrando em v

= 1 2 e l n ( v ) - l n ( v ) e | v = 2 v = 1

= 1 2 ( e l n ( 2 ) - e - 1 l n ( 2 ) )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 1 2 ( e l n ( 2 ) - e - 1 l n ( 2 ) )

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