Sejam o paralelogramo de vértices e funções contínuas em . É corrento concluir que
no caso em que
Passo 1
Observa comigo logo de cara que a mudança que ele fez dentro da integral foi a mudança de variáveis, certo? Onde ele trocou por e por , oque obviamente fez com que aparecesse um jacobiano ali dentro da segunda integral. Até aí tudo bem, o que faz com que a gente já tenha:
Com isso a gente já tem condições de calcular o Jacobiano:
Passo 2
Já descobrimos o jacobiano! Agora precisamos entendercomo fica a nova região pra entender a variação de pra preenchermos a variação na nova integral. Bom, pra isso vamos precisar das equações das retas do paralelogramo formado com esses 4 pontos. Daí, pra parte da equação da reta cada um é cada um. Eu particularmente curto fazer por matriz, mas sei que tem outros jeitos de fazer...você faz como julgar melhor.
Primeiro vou fazer o a reta que liga os pontos (0,0) ao (3,3).
Agora (1,-1)(4,2)
(3,3) (4,2)
(0,0) (1,-1)
Passo 3
Bom, com cada uma dessas equações a gente consegue ver direitinho onde estão variando, uma vez que
Observa as equações que encontramos:
Logo ficamos com
Passo 4
Pra concluir vamos então montar a integral:
;)