Usando uma mudança de variáveis, calcule a integral

∫ ∫ y - 2 x 3 y + 2 x   d A

Onde D é o paralelogramo de vértices: (1, 2), (2, 4), (5, 2) e (4, 0).

Passo 1

Fala turminha, tudo em cima? Bora lá resolver essa questão. Primeiro, vamos desenhar o nosso domínio definido pelo paralelogramo.

Com isso, nosso domínio fica delimitado por 4 equações que vai ser bem complexo da gente trabalhar depois, daí, fazemos a mudança de variável que a questão nos propôs. De forma que nosso paralelogramo agora seja:

Que vai ser muito mais fácil da gente trabalhar.

Passo 2

Agora precisamos fazer o mais importante quando mudamos as coordenadas, que é o jacobiano. Você sabe como ele é feito? Calculamos da seguinte forma: Primeiro isolamos as variáveis:

u = y - 2 x

v = 3 y + 2 x

Agora, isolando x e y :

x = - 3 u + v 8

E

y = u + v 4

Calculando agora o Jacobiano, temos:

J u , v = d x d u d x d v d y d u d y d v = - 3 8 1 8 1 4 1 4  

Calculando o determinante:

J = - 1 8

J = 1 8

Passo 3

Agora montamos a integral com o nosso novo formato de u e v :

∫ ∫ y - 2 x 3 y + 2 x   d A = ∫ ∫ u v   1 8 d u   d v

Resolvendo a integral:

∫ ∫ u v   1 8 d u   d v = ∫ 8 16   ∫ - 8 0 u v   d u   d v

= 1 8 ⋅ ∫ 8 16 d v v ∫ - 8 0 u   d u

= 1 8 ⋅ ln ⁡ 16 8 0 + 64 2

= 32 8 ln ⁡ 2

= 4 ln ⁡ 2

Resposta

∫ ∫ y - 2 x 3 y + 2 x   d A = 4 ln ⁡ 2

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