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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Calcule

∫ 0 4 ∫ y 2 y 2 + 1 2 x - y 2 d x d y

Aplicando a transformação

u = 2 x - y 2

v = y 2

Passo 1

Vamos lá galera, teoricamente daria pra fazer essa questão sem a mudança, mas como o enunciado pediu, vamos aplicar isso que ele quer, beleza?

Antes de qualquer coisa, vamos tirar as funções que temos dentro da integral, o que ela nos diz é:

y 2 ≤ x ≤ y 2 + 1

0 ≤ y ≤ 4

Pra usar essas mudanças, vamos ter que “brincar” com essas funções, olha só

A primeira equação que temos é

x = y 2

2 x = y

2 x - y = 0

2 x - y 2 = 0

u = 0

Sacou? Não alteramos a igualdade em momento nenhum, só fizemos o termo “ 2 x - y 2 aparecer ali! Vamos fazer o mesmo para a outra igualdade

x = y 2 + 1

2 x = y + 2

2 x - y = 2

2 x - y 2 = 1

u = 1

Portanto sabemos que 0 ≤ u ≤ 1

Vamos agora analisar os valores de v ! Perceba que v só é função de y e sabemos que y está nesse intervalo aqui

0 ≤ y ≤ 4

Dividindo tudo por 2

0 ≤ y 2 ≤ 2

Só que a definição de v é exatamente essa! Portanto

0 ≤ v ≤ 2

Passo 2

Boa, calculamos os limites de u e v . Mas pra aplicar isso aí na integral precisamos do valor do jacobiano dessa mudança, não se esqueça disso!

∂ u ∂ x = 1

∂ u ∂ y = - 1 2

∂ v ∂ x = 0

∂ v ∂ y = 1 2

Cuidado que esse é o jacobiano J *

J * = 1 - 1 2 0 1 2 = 1 2

J = 1 J * = 2

Passo 3

Substituindo tudo na integral

∫ 0 4 ∫ y 2 y 2 + 1 2 x - y 2 d x d y

= ∫ 0 2 ∫ 0 1 u 2 d u d v

= 2 ∫ 0 2 ∫ 0 1 u d u d v

Passo 4

Começando a integrar isso aí em u

2 ∫ 0 2 u 2 2 0 1 d v = 2 ∫ 0 2 1 2 d v

= ∫ 0 2 d v

Integrando em relação a v

= v 0 2 = 2

Resposta

2

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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .