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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Considere a região do plano

R = x , y ∈ R 2 0 ≤ y ≤ s e n 3 x ,   0 ≤ x ≤ π / 2 } .  

  1. Desenhe R hachurado. Desenhe ao lado a fronteira de R, denotada por Fr(R).
  2. Considere a integral dupla I = ∬ R e y se n 2 x cos ⁡ x d x d y (i) Escreva I usando obrigatoriamente uma integral iterada, integrando primeiro com respeiro a y e em seguida com a respeito a x.Obs: Neste item não é para calcular o valor numérico de I , apenas escrever a forma pedida.

    3. (ii) Escreva I usando obrigatoriamente uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a x e em seguida em respeito a y.

    Obs: Neste item não é para calcular o valor numérico de I , apenas escrever a forma pedida.

  3. Calcule I .
  4. Considere

U = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ z ≤ e y s e n 2 x cos ⁡ x ,   0 ≤ y ≤ s e n 3 x ,   0 ≤ x ≤ π 2

Calcule o volume de U .

Passo 1

a) Desenhe R hachurado. Desenhe ao lado a fronteira de R, denotada por Fr(R).

Passo 2

b) Considere a integral dupla I = ∬ R e y se n 2 x cos ⁡ x d x d y (i) Escreva I usando obrigatoriamente uma integral iterada, integrando primeiro com respeiro a y e em seguida com a respeito a x.Obs: Neste item não é para calcular o valor numérico de I , apenas escrever a forma pedida.

(ii) Escreva I usando obrigatoriamente uma integral iterada, integrando primeiro com respeito a x e em seguida em respeito a y.

Obs: Neste item não é para calcular o valor numérico de I , apenas escrever a forma pedida.

Fazendo então primeiro o item (i): Observe que pra esse vamos escrever o y variando entre funções e o x variando entre constantes.

Ficamos então com:

I = ∫ 0 π 2 ∫ 0 s e n 3 x e y s e n 2 x cos ⁡ x d y d x

Agora o item (ii):

Para esse caso, a inversão de ordem de integração fica um pouquinho mais chata, por que vamos ter que isolar o x. Ou seja:

y = s e n 3 ( x )

y 1 3 = s e n x

a r c s e n y 1 3 = x

Logo, escrevemos a integral como:

I = ∫ 0 1 ∫ a r c s e n y 1 3 π 2 e y s e n 2 x cos ⁡ x d x d y

Passo 3

c) Calcule I .

Esse passo é bem diretão. Aqui vamos simplesmente calcular o I ,   escolhendo uma das duas dormas. Vou ficar com a ordem que fizemos em (i) simplesmente por que me parece mais simples de trabalha.

I = ∫ 0 π 2 ∫ 0 s e n 3 x e y s e n 2 x cos ⁡ x d y d x

= ∫ 0 π 2 e y s e n 2 x cos ⁡ x d x | s e n ³ ( x ) 0

= ∫ 0 π 2 e s e n 3 x s e n 2 x cos ⁡ x - e 0 s e n 2 x cos ⁡ x d x

= ∫ 0 π 2 e s e n 3 x s e n 2 x cos ⁡ x   d x -   ∫ 0 π 2 s e n 2 x cos ⁡ x d x

Vamos chamar de (a) a primeira integral, e de (b) a segunda.

Resolvendo primeiro a (a), faremos uma substituição simples, onde:

u = s e n 3 ( x )

d u = s e n 2 x cos ⁡ x d x

Ficamos então com:

∫ 0 1 e u d u

e - e 0

= e - 1

Agora resolvendo a integral (b):

∫ 0 π 2 s e n 2 x cos ⁡ x d x

Também uma substituição simples:

u = s e n x

d u = cos ⁡ x d x

Voltando para integral ficamos então com:

∫ 0 1 u 2 d u

= u 3 3 | 1 0

= 1 3

Agora vamos somente precisar retornar os valores:

I = ∫ 0 π 2 e s e n 3 x s e n 2 x cos ⁡ x   d x -   ∫ 0 π 2 s e n 2 x cos ⁡ x d x

I = e - 1 - 1 3

I = e - 4 3

Passo 4

d) Considere

U = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ z ≤ e y s e n 2 x cos ⁡ x ,   0 ≤ y ≤ s e n 3 x ,   0 ≤ x ≤ π 2

Calcule o volume de U .

Observa que como z é uma função de x e y, podemos escrever o volume como sendo:

U = ∬ D z   d x d y

Ou seja:

U = ∬ D e y s e n 2 x cos ⁡ x d x d y

O que é justamente o resultado que encontramos anteriormente.

D = R   ∴ U = I

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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