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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Mudança de variáveis

Considere D = x , y ∈ R 2 : 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e I a integral dada por

I = ∬ D x y d x d y

  1. Usando mudança de variáveis T u , v = u , v , encontre a região D * tal que T D * = D e esboce D e D *
  2. Determine a matriz jacobiana D T u , v
  3. Calcule a integral dada usando a fórmula de mudança de variáveis para T . Justifique.

Passo 1

a )

Vamos começar entendo como é a região D . Consegue perceber que temos duas circunferências?

x 2 + y 2 = 4

Essa tem raio 2 e centro em 0,0

x 2 + y 2 = 2

Essa tem raio 2 e centro em 0,0

A região D vai ser a região interna a circunferência maior e externa a circunferência menor, conseguimos ver isso pela desigualdade das equações. Além disso, vamos ter x ≥ 0 e y ≥ 0 , então estamos pegando a parte do 1 º quadrante. O seu gráfico vai ficar

Passo 2

Vamos fazer agora a substituição

x = u

y = v

Vamos ter

2 ≤ u + v ≤ 4

Vamos continuar tendo a limitação do primeiro quadrante, porque para x ≥ 0 e y ≥ 0 temos u ≥ 0 e v ≥ 0 , a diferença é que em vez de circunferências, vamos ter retas.

u + v = 4

u + v = 2

A região vai ser entre essas duas retas

O gráfico de D * vai ficar

Passo 3

b )

Temos J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v )     = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

∂ x ∂ u = 1 2 u

∂ x ∂ v = 0

∂ y ∂ u = 0

∂ y ∂ v = 1 2 v

J = 1 2 u 0 0 1 2 v = 1 2 u 1 2 v = 1 4 u v

Passo 4

c )

Vamos agora achar a integral que ele pediu. Para isso precisamos achar os intervalo que varia u e v , um vai ser limitado por números, e outro por funções. Vamos limitar u por números. Conseguimos ver pelo gráfico que u vai de 0 à 4 .

O problema é o valor de v , olha como na verdade é

São duas partes, uma onde v vai de uma reta, no caso u + v = 2 , até a outra, u + v = 4 . E a outra parte v vai de 0 até a reta u + v = 4 .

Na primeira parte o valor de u vai de 0 à 2 , e na segunda parte o valor de u vai de 2 à 4.

Vamos ter

D 1 * = u , v ∈ R 2 0 ≤ u ≤ 2 ,   2 - u ≤ v ≤ 4 - u

E

D 2 * = u , v ∈ R 2 2 ≤ u ≤ 4 ,   0 ≤ v ≤ 4 - u

Passo 5

A integral vai ficar

I = ∬ D x y d x d y = ∬ D * u v 1 4 u v d v d u = 1 4 ∬ D * d v d u = 1 4 ∬ D 1 * d v d u + 1 4 ∬ D 2 * d v d u

I = 1 4 ∫ 0 2 ∫ 2 - u 4 - u   d v d u + 1 4 ∫ 2 4 ∫ 0 4 - u   d v d u = 1 4 ∫ 0 2 4 - u - 2 - u d u + 1 4 ∫ 2 4 4 - u - 0 d u

I = 1 4 ∫ 0 2 2 d u + 1 4 ∫ 2 4 4 - u d u = 1 4 ∫ 0 2 2 d u + 1 4 ∫ 2 4 4 - u d u

I = 1 4 2 u u = 0 2 + 1 4 4 u - u 2 2 u = 2 4 = 1 4 4 + 1 4 4.4 - 4 2 2 - 4.2 - 2 2 2

I = 1 + 1 4 16 - 8 - 8 + 2 = 1 + 1 4 2 = 1 + 1 2 = 3 2

Resposta

  2. J = 1 4 u v
  3. I = 3 2

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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .