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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Mudança de variáveis

Seja f : R → R uma função contúnua. Utilizando uma mudança de variáveis apropriada, mostre que

∬ D   f ( x y ) d x d y = log ⁡ 2 ∫ 1 2 f ( u ) d u

Onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas linhas de equação y = x , y = 4 x , y = 1 / x   e y = 2 / x .

Passo 1

Vamos começar decidindo que mudança vamos fazer aqui. Olha pra função que temos que integrar, f ( x y ) .

Agora olha para essas curvas que limitam D : y = 1 / x   e y = 2 / x . Repare que elas podem ser reescritas como:

x y = 1

x y = 2

Certo? Bom, já que o termo x y apareceu várias vezes no problema, vamos chamar ele de u :

x y = u

Agora, vamos definir a variável v usando as outras equações que limitam D : y = x , y = 4 x . Elas podem ser reescritas como:

y x = 1

y x = 4

Então vamos fazer a mudança

y x = v

Beleza?

Passo 2

Bom, se vamos fazer um mudança de variáveis, precisamos calcular o Jabobiano disso aí. Temos a transformação:

x y = u

y x = v

Isolando x e y :

x , y = T u , v = u v , u v

O que nos dá

∂ x ∂ u = 1 2 u v

∂ x ∂ v = - u 2 v v

∂ y ∂ u = v 2 u

∂ y ∂ v = u 2 v

Como

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v )     = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

J = 1 2 u v - u 2 v v v 2 u u 2 v = 1 4 v + 1 4 v = 1 2 v

J = 1 2 v

Passo 3

Agora temos que descobrir nossa região de integração no plano u v . Onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas linhas de equação y = x , y = 4 x , y = 1 / x   e y = 2 / x . Fazendo a mudança de variáveis nessas equações, temos:

v = 1

v = 4

u = 1

u = 2

A nova região de integração virou, então, esse retângulo.

Show, agora vamos escrever matematicamente essa região:

1 ≤ u ≤ 2

1 ≤ v ≤ 4

Passo 4

-

Agora vamos fazer a mudança na nossa integral.

∬ D   f ( x y ) d x d y = ∫ 1 2 ∫ 1 4 f ( u ) 1 2 v d v d u

Agora vamos simplificar isso aí. Integrando em relação a v :

= = 1 2 ∫ 1 2 ln ⁡ v f ( u ) 1 4 d u =

= 1 2 ∫ 1 2 f u [ ln ⁡ 4 - ln ⁡ 1 ] d u =

= 1 2 = 1 2 ∫ 1 2 f u [ 2 ln ⁡ 2 ] d u =

= ln ⁡ 2 ∫ 1 2 f u d u =

Pronto, chegamos ao que o enunciado pediu!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .