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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Mudança de Variáveis

Calcule a seguinte integral

∬ D y / x + x y d x d y

D é a região do primeiro quadrante, limitada pelas hipérboles x y = 1 , x y = 9 e pelas retas y = x e y = 4 x

Passo 1

Repara que temos y / x e x y tanto nos limites de integração quanto na integral então vamos fazer

u = x y

v = y x

Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Nesse caso, escrever as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v não é muito simples. Por isso, vamos usar um recurso para facilitar nossa vida, em vez de calcular ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = J , vamos calcular ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = J * (que é o inverso do Jacobiano que queremos).

J * = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Temos, então:

∂ u ∂ x = y

∂ u ∂ y = x

∂ v ∂ x = - y x 2

∂ v ∂ y = 1 x

J * = y x - y x 2 1 x = y x - - y x 2 . x = y x + y x = 2 y x

Esse valor que encontramos ainda não é o Jacobiano:

J = 1 J * = x 2 y

Deveríamos, agora, escrever esse Jacobiano em função de u e v, as nossas novas variáveis

J = 1 2 v

Passo 3

Agora precisamos descobrir os intervalos de integração no domínio D * .

x y = 1   → u = 1

x y = 9   → u = 9

y x = 1   → v = 1

y x = 4 → v = 4

Muito mais simples, não é? A integral iterada será então:

∫ 1 4 ∫ 1 9 v + u 1 2 v d u d v

Passo 4

Vamos resolver essa integral

∫ 1 9 ∫ 1 4 v + u 1 2 v d v d u = ∫ 1 9 ∫ 1 4 v 2 v + u 2 v d v d u = ∫ 1 9 ∫ 1 4 u 2 v + 1 2 v d v d u =

⇒ ∫ 1 9 u ln ⁡ v 2 + v v = 1 4 d u = ∫ 1 9 u ln ⁡ 4 2 + 4 - u ln ⁡ 1 2 - 1 d u = ∫ 1 9 u ln ⁡ 2 2 2 + 1 d u = ∫ 1 9 u 2 ln ⁡ 2 2 + 1 d u = ∫ 1 9 u ln ⁡ 2 + 1 d u

⇒ u 3 / 2 3 / 2 ln ⁡ 2 + u u = 1 9 = 9 3 / 2 3 / 2 ln ⁡ 2 + 9 - 1 3 / 2 3 / 2 ln ⁡ 2 + 1 = 2 3 . 27 ln ⁡ 2 + 9 - 2 3 ln ⁡ 2 - 1

https://www.respondeai.com.br/resumos-e-aulas/30/provas-antigas/1228 ⇒ 54 3 ln ⁡ 2 - 2 3 ln ⁡ 2 + 8 = 52 3 ln ⁡ 2 + 8

Resposta

M = 52 3 ln ⁡ 2 + 8

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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .