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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Mudança de variáveis

Obs: o enunciado dessa questão foi alterado, com relação ao original disponibilizado pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade.

Calcule ∬ D   x + y - 1 x - y + 1 4 d x d y , sendo D a região do plano limitada por:

x + y - 1 = x - y + 1

x + y - 1 = 2 x - y + 1

x - y + 1 = 1

x - y + 1 = 2

Passo 1

Antes de tudo, vamos dar uma olhada no enunciado. As equações estão escritas de forma estranha, não é? Percebeu que eles isolaram os termos ( x + y - 1 ) e ( x - y + 1 ) em todas elas? E, além disso, encontramos esses mesmos termos na integral da questão?

Isso quer dizer que eles estão implorando para fazermos essa mudança de variáveis:

x + y - 1 = u

x - y + 1 = v

Assim, as equações passam a ser:

u = v

u = 2 v

v = 1

v = 2

Olha que lindo, bem melhor. Temos, então 1 ≤ v ≤ 2 e v ≤ u ≤ 2 v .

Passo 2

Mas como nada vem de graça, temos que calcular o Jacobiano dessa transformação, lembra?

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Temos:

x + y - 1 = u

x - y + 1 = v

Isso nos dá

x = u + v 2

y = u - v 2 + 1

∂ x ∂ u = 1 2

∂ x ∂ v = 1 2

∂ y ∂ u = 1 2

∂ y ∂ v = - 1 2

J = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 = - 1 2

Passo 3

Agora vamos montar a integral em termos de u e v , lembrando que o que levamos para a integral é o módulo do Jacobiano:

∬ D   x + y - 1 x - y + 1 4 d x d y = ∫ 1 2 ∫ v 2 v 1 2 u v 4 d u d v

Passo 4

Agora é só resolver isso aí

= 1 4 ∫ 1 2 u 2 v 4 v 2 v d v =

= 1 4 ∫ 1 2 4 v 2 - v 2 v 4 d v =

= 3 4 ∫ 1 2 1 v 2 d v =

= - 3 4 v 1 2 =

= 3 4 - 3 8 =

= 3 8

Resposta

3 8

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .