Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:

d) ∫ 0 1 ∫ x 1 e y 3 d y d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente inverter a ordem de integração e calcular a integral dupla dada. Pra inverter a ordem de integração, a gente precisa inverter os limites de integração e a melhor forma de visualizar isso é observando o gráfico da região dada pelos limites. Nesse caso, temos:

A gente vai tentar escrever nossa integral com d x d y , então temos que olhar primeiro como x varia e verificar, em seguida, como y varia no gráfico. Assim, vamos calcular nossa nova integral.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando nosso gráfico, a gente percebe que y varia de 0 até 1 e que x vai de 0 até a curva y = x ou x = y 2 . Assim, temos:

0 ≤ x ≤ y 2

0 ≤ y ≤ 1

Então, montando nossa integral, temos:

∫ 0 1 ∫ x 1 e y 3 d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 y 2 e y 3 d x d y

Assim, integrando primeiro em relação a x :

∫ 0 1 x 0 y 2 e y 3 d y

Aplicando os limites de integração em y :

∫ 0 1 y 2 e y 3 d y

Passo 3

Agora para integrar em relação a y , vamos chamar u = y 3 , pra facilitar nossa vida na hora de integrar. Assim, temos:

d u = 3 y 2   d y → d u 3 = y 2 d y

Então, substituindo na integral, vai ficar:

∫ 0 1 1 3 e u d u

Integrando agora, temos:

1 3 e u 0 1

Voltando pra nossa variável x , vamos ter:

1 3 e y 3 0 1

Aplicando os limites de integração em y :

1 3 ( e 1 3 - e 0 )

= 1 3 ( e - 1 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 3 ( e - 1 )

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