1) A mudança de variáveis que tem como Jacobiano

∂ x ,   y ∂ u ,   v = 1 3

É:

  1. u = x - 1 y 2 ,   v = x 2 y - 1
  2. x = u + v / 2   ,   y = u + v / 4
  3. u = y - x ,   v = y + x
  4. x = v / 3 + u ,   y = u + v
  5. u = y - x 2 ,   v = x + y

Passo 1

Bem, aqui devemos ir testando e ver qual que vai dar certo ou não.

Vajamos a letra a ...

u = x - 1 y 2 ,   v = x 2 y - 1

Se calcularmos o Jacobiano dela, lembrando que em casos onde temos u e v em função de x e y , é válido calcular o Jacobiano inverso...

J * = ∂ u ,   v ∂ x ,   y

Lembrando que o Jacobiano é uma matriz...

J * = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Calculando essas derivadas parciais, no caso de...

u = x - 1 y 2 ,   v = x 2 y - 1

Passo 2

∂ u ∂ x = - y 2 x 2

∂ u ∂ y = 2 y x

Calculando agora as de v ...

∂ v ∂ x = 2 x y

∂ v ∂ y = - x 2 y 2

Voltando para o cálculo...

J * = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = - y 2 x 2 2 y x 2 x y - x 2 y 2 =

1 - 4 = 3

Como o Jacobiano é o inverso do inverso...

J = 1 J * = 1 3

Prontinho! De primeira encontramos, sacou?

Resposta

a ) 1 3

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