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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Mudança de variáveis

Calcule

∬ R   y - 2 x 8 y + x 5 d x d y

Onde R é a região limitada pelas retas y = 2 x , y = 1 + 2 x , y = 1 - x e y = 3 - x .

Passo 1

Bom, não dá para integrar isso aí direto, né? Precisamos mexer em alguma coisa nessa integral. Vamos parar para pensar um pouco aqui, tentar encontrar uma substituição que simplifique nossas vidas.

Para isso, vamos tentar encontrar semelhanças entre os termos da função da integral e das funções que definem a região de integração. Como assim? Repare que podemos reescerver as funções que limitam R dessa forma:

y - 2 x = 0

y - 2 x = 1

y + x = 1

y + x = 3

Qualquer semelhaça não é mera coincidência ; )

Já sacou, né? Olha para a integral. Reparou que os termos ( y - 2 x ) e ( y + x ) aparecem algumas vezes nessa questão, né? Então é essa substituição aqui que vamos fazer:

u = y - 2 x

v = y + x

O que podemos reescrever como y = 2 v + u 3 e x = v - u 3 .

Passo 2

Temos J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v )     = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

∂ x ∂ u = - 1 3

∂ x ∂ v = 1 3

∂ y ∂ u = 1 3

∂ y ∂ v = 2 3

J = - 1 3 1 3 1 3 2 3 = - 2 9 - 1 9 = - 1 3

Fazendo a substituição na integral, temos, então:

∬ R   y - 2 x 8 y + x 5 d x d y

1 3 ∬ D *   u 8 v 5 d u   d v

Passo 3

Vamos, agora, analisar a nova região de integração, teremos:

y - 2 x = 0     →       u = 0

y - 2 x = 1     →       u = 1

y + x = 1     →       v = 1

y + x = 3     →       v = 3

Assim, a integral iterada passa a ser:

= 1 3 ∫ 1 3 ∫ 0 1 u 8 v 5 d u   d v =

Passo 4

Integrando em relação a u , temos:

= 1 27 ∫ 1 3 u 9 v 5 0 1   d v =

= 1 27 ∫ 1 3 1 v 5   d v =

Passo 5

Agora em relação a v :

= - 1 108 1 v 4 1 3 =

= 1 108 1 - 1 81 =

= 20 2187

Resposta

20 2187

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