Calcule as integrais iteradas:

b) ∫ 0 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 - z 2 z sin ⁡ y d x d z d y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral iterada:

∫ 0 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 - z 2 z sin ⁡ y d x d z d y

Pra isso, vamos usar o teorema de Fubini para integrais triplas, na forma:

∭ W f x ,   y ,   z d V = ∫ e f ∫ c d ∫ a b f ( x ,   y ,   z ) d x d y d z

Isso quer dizer que vamos integrar por etapas, em relação a x , y e z , na ordem em que as diferenciais d x ,   d y ,   d z aparecerem na integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar integrando nossa função f x ,   y , z = z sin ⁡ y primeiro em relação a x :

∫ 0 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 - z 2 z sin ⁡ y d x d z d y = ∫ 0 π ∫ 0 2 x z sin ⁡ y 0 4 - z 2 d z d y

Aplicando os limites de integração em x , temos:

∫ 0 π ∫ 0 2 4 - z 2   z sin ⁡ y - 0 d z d y

∫ 0 π ∫ 0 2 4 - z 2   z sin ⁡ y d z d y

Passo 3

Antes de integrar em relação a z , vamos fazer uma substituição pra facilitar nossa vida. Assim, vamos definir u = 4 - z 2 , de modo que d u = - 2 z   d z , ou:

- d u 2 = z   d z

Substituindo na integral, vai ficar:

∫ 0 π ∫ 0 2 - u 2   sin ⁡ y d u d y

Como sin ⁡ y funciona como constante em relação a u , vamos colocar ele do lado de fora da integral, junto com a outra constante - 1 2 :

∫ 0 π - 1 2 sin ⁡ y ∫ 0 2 u d u d y

Agora ficou mais fácil integrar em relação a u . Vamos ter:

∫ 0 π - 1 2 sin ⁡ y 2 3 u 3 2 0 2 d y

Antes de aplicar os limites de integração, vamos voltar a nossa variável original z :

∫ 0 π - 1 2 sin ⁡ y 2 3 ( 4 - z 2 ) 3 2 0 2 d y

Agora, substituindo os limites em z :

∫ 0 π - 1 2 sin ⁡ y 2 3   4 - 2 2 3 2 - 4 - 0 2 3 2 d y

∫ 0 π - 1 3 sin ⁡ y   0 - 4 3 2 d y = ∫ 0 π - 1 3 sin ⁡ y   - 4 3 d y

= ∫ 0 π 8 3 sin ⁡ y d y

Passo 4

Por fim, integrando em relação a y , vamos ter:

8 3 ∫ 0 π sin ⁡ y d y = 8 3 - cos ⁡ y 0 π

Aplicando os limites de integração em y :

8 3 - cos ⁡ π + cos ⁡ 0

= 8 3 - - 1 + 1 = 8 3 ( 2 )

= 16 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

16 3

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