USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 16b
Calcule as integrais iteradas:
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral iterada:
Pra isso, vamos usar o teorema de Fubini para integrais triplas, na forma:
Isso quer dizer que vamos integrar por etapas, em relação a , e , na ordem em que as diferenciais aparecerem na integral.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar integrando nossa função primeiro em relação a :
Aplicando os limites de integração em , temos:
Passo 3
Antes de integrar em relação a , vamos fazer uma substituição pra facilitar nossa vida. Assim, vamos definir , de modo que , ou:
Substituindo na integral, vai ficar:
Como funciona como constante em relação a , vamos colocar ele do lado de fora da integral, junto com a outra constante :
Agora ficou mais fácil integrar em relação a . Vamos ter:
Antes de aplicar os limites de integração, vamos voltar a nossa variável original :
Agora, substituindo os limites em :
Passo 4
Por fim, integrando em relação a , vamos ter:
Aplicando os limites de integração em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉