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Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

O valor da integral

∬ D x 2 - y 2 cos ⁡ x + y 2 d x d y

onde D é o paralelogramo de vértices 0,0 , π 4 , - π 4 ,   π 2 , 0 e π 4 , π 4 é:

Escolha uma:

a) π 2 32 s e n π 2 4

b) - π 4   s e n π 2 4

c) - π 2 16 1 - s e n π 2 4

d) π 4   s e n π 2 4

e) π 2 32 1 - s e n π 2 4

Passo 1

Cara, a gente tem uma integral meio estranha e um domínio no formato de paralelogramo. Isso é a dica para a gente usar uma mudança de variáveis linear! Como assim?

Mudança de variáveis linear é quando a gente aplica uma mudança com expressões assim no nosso domínio

u = a x + b y ,     v = c x + d y

Onde a , b , c , d são constantes. A ideia é que essa mudança vai deixar nosso integrando bonito e vai transformar nosso domínio de paralelogramo para um retângulo! Sonho, né? Vamos usar isso então!

Que expressões podemos testar para u e v ? Vamos ver isso pelo integrando

x 2 - y 2 cos ⁡ x + y 2

De cara, a gente já acha uma expressão linear que podemos usar

u = x + y

Para achar a outra, a gente pode usar produtos notáveis para reescrever o integrando

x - y ( x + y ) cos ⁡ x + y 2

Daí a gente acha a outra expressão

v = x - y

Agora é ver se ela funciona bem no domínio. Bora!

Passo 2

Para a mudança

u = x + y ,     v = x - y

ser super útil para a gente, ela precisa transformar nosso domínio em um retângulo. E como a gente vê se isso acontece?

Cara, vamos passar os vértices do nosso paralelogramo por essa mudança de variáveis, e ver se os vértices novos formam um retângulo no plano u v . Assim:

- P 1 = x , y = 0,0

u = 0 + 0 = 0 ,     v = 0 - 0 = 0

Daí temos o ponto u , v = 0,0 .

- P 2 = x , y = π 4 , - π 4

u = π 4 + - π 4 = 0 ,     v = π 4 - - π 4 = π 2

Daí temos o ponto u , v = 0 , π 2 .

- P 3 = x , y = π 2 , 0

u = π 2 + 0 = π 2 ,     v = π 2 - 0 = π 2

Daí temos o ponto u , v = π 2 , π 2 .

- P 4 = x , y = π 4 , π 4

u = π 4 + π 4 = π 2 ,     v = π 4 - π 4 = 0

Daí temos o ponto u , v = π 2 , 0 .

Aí desenhando no plano u v , o paralelogramo de vértices 0,0 , 0 , π 2 ,   π 2 , π 2 e π 2 , 0 :

Temos realmente um retângulo! Aí isso diz que essa mudança é maravilhosa para a gente. Vamos usar ela mesmo!

E para descrever esse retângulo como extremos de integração, a gente pode dizer que

0 ≤ u ≤ π 2 ,     0 ≤ v ≤ π 2

Passo 3

Para montar o integrando a gente precisa do jacobiano da nossa mudança.

J = ∂ x , y ∂ u . v

Maas, como a gente tem u e v em função de x , y , vamos calcular o inverso disso:

1 J = ∂ u , v ∂ x . y = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ u ∂ y

Bora lá:

u = x + y ,     v = x - y

1 J = 1 1 1 - 1 = - 1 - 1 = - 2

Aí a gente inverte

J = 1 - 2

E tira o módulo:

| J | = 1 - 2

J = 1 2

Passo 4

A integral que a gente tinha era:

∬ D x 2 - y 2 cos ⁡ x + y 2 d x d y

Mas a gente saiu de x , y e foi para u , v .

Nessa viagem, precisamos fazer umas coisinhas. Primeiro, vamos colocar nossos novos extremos de integração e multiplicar esse integrando por J = 1 2 :

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 1 2 x 2 - y 2 cos ⁡ x + y 2   d u d v

A gente precisa agora colocar esse integrando em função de u e v , saca? Lembrando que a gente escreveu ele assim

x 2 - y 2 cos ⁡ x + y 2 = x - y ( x + y ) cos ⁡ x + y 2

Já que u = x + y ,   v = x - y :

x 2 - y 2 cos ⁡ x + y 2 = v u cos ⁡ u 2

∴

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 1 2 v u cos ⁡ u 2   d u d v

Pronto! Agora ele está todo em u , v .

Passo 5

Só falta calcular essa bonita

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 1 2 v u cos ⁡ u 2 d u d v

Vamos usar a substituição simples t = u 2 , nessa integral de dentro

d t d u = 2 u , d t 2 = u   d u

t 1 = 0 = 0 ,     t 2 = π 2 = π 2 4

Aí a integral fica

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 4 1 4 v cos ⁡ t d t d v = 1 4 ∫ 0 π 2 v s e n t 0 π 2 4 d v = 1 4 ∫ 0 π 2 v   s e n π 2 4 d v

Calculando a que ficou

= 1 4 s e n π 2 4 v 2 2 0 π 2 = π 2 32 s e n π 2 4

Resposta

Letra a

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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .