UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 16b
Utiliza a transformação dada para calcular a integral
b) , onde é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas e e as hipérboles , ; , .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região limitada pelas retas e e as hipérboles , , usando a transformação e . Olha aí nossa região no primeiro quadrante, em amarelo:
Essa região vai definir nossos limites de integração, substituindo as equações de transformação, e , nas equações das retas e das hipérboles.
Depois disso, para calcular essa integral, vamos usar a definição:
Onde é o Jacobiano da transformação, que é dado da seguinte forma:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de e , tirar esse determinante e substituir na integral junto com os intervalos de integração.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas do nosso Jacobiano.
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E por ultimo é a derivada de em função de :
Passo 3
Pronto, agora é só substituir e calcular:
Passo 4
Com a transformação de e e usando as retas e as hipérboles vamos ter:
Agora temos e no plano .
Passo 5
Agora vamos substituir na integral:
Integrando primeiro em relação a :
E aplicando os limites de integração em :
Agora integrando em relação a :
E aplicando os limites de integração em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉