3 . Seja R o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 . Usando a mudança de variável u = x - y e v = 3 x + y , calcule a integral.

∬ R 4 x + 8 y   d A  

Passo 1

Vamos começar essa questão descobrindo quem é x e y em função de u e v , ou seja:

x = u + y

Substituindo x na outra equação e isolando o y temos:

y = v - 3 u 4     ⇒     x = u + v 4

Além disso precisamos dos limites de integração e ficará muito mais fácil se olharmos para esse paralelogramo:

As retas vermelhas são das por x - y = u

As retas pretas são dadas por 3 x + y = v

Olhando para os pontos que pertencem a cada reta podemos encontrar os limites de integração escolhendo um segmento e substituindo os pontos.

Para u :

- 1,3     ⇒   u = - 1 - 3 = - 4

1 , - 3     ⇒   u = 1 + 3 = 4

Para v :

1 , - 3     ⇒   v = 3 1 - 3 = 0

3 , - 1     ⇒ v = 3 3 - 1 = 8

Com essas informações só nos falta calcular   ∂ x , y ∂ u , v e montar a integral. Então, vem comigo!

Passo 2

Vamos calcular

∂ x , y ∂ u , v = ∂ x / ∂ u ∂ x / ∂ v ∂ y / ∂ u ∂ y / ∂ v = 1 / 4 1 / 4 - 3 / 4 1 / 4 = 1 4

Então pelo teorema de mudança de variável temos que:

∬ R 4 x + 8 y   d A   = ∬ S 4 u + v 4 + 8 v - 3 u 4   ∂ x , y ∂ u , v d A   ⇒

∫ 0 8 ∫ - 4 4 u + v + 2 v - 3 u 1 4 d u d v   = 1 4 ∫ 0 8 ∫ - 4 4 - 5 u + 3 v d u d v =

= 1 4 ∫ 0 8 3 v u - 5 u 2 2 - 4 4 d v = 1 4 ∫ 0 8 12 v   d v = 3 v 2 2 0 8 = 192

E é esse o nosso resultado!

Resposta

∬ R 4 x + 8 y   d A   = 192

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