Considere a região D ⊂ R 2 limitada pela curva x + y = 1 e pelos eixos coordenados. Determine

∫ ∫ D   1 x y d A

Dica: utilize a transformação de coordenadas x = u 2 , y = v 2 .

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido.

A região D é essa marcada em cinza.

Passo 2

Ok, e agora? No plano x y , podemos escrever essa região como tipo I, y está entre as retas y = 0 e y = 1 - x e x vai de 0 a 1 , portanto:

0 ≤ y ≤ 1 - x

0 ≤ x ≤ 1

Fazendo a mudança sugerida

x = u 2

y = v 2

Temos

0 ≤ v 2 ≤ 1 - u 2

0 ≤ u 2 ≤ 1

O que nos dá

0 ≤ v ≤ 1 - u 2

0 ≤ u ≤ 1

Bom, no plano u v podemos então descrever a região como

D * = u , v 0 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ v ≤ 1 - u 2

Passo 3

Bom, mas como tudo na vida tem um preço, não poderia ser tão simples assim né.

Temos que calcular o Jacobiano dessa transformação, lembra?

J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Temos:

x = u 2

y = v 2

Isso nos dá

∂ x ∂ u = 2 u

∂ x ∂ v = 0

∂ y ∂ u = 0

∂ y ∂ v = 2 v

J = 2 u 0 0 2 v = 4 u v

Passo 4

Beleza, agora vamos montar a integral:

∫ ∫ D   1 x y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 2 1 u 2 v 2 4 u v   d v d u

= 4 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 2 d v d u =

Passo 5

Agora é só resolver isso aí

= 4 ∫ 0 1 v 0 1 - u 2 d u =

= 4 ∫ 0 1 1 - u 2 d u =

Agora vamos fazer a mudança:

u = s e n   θ

d u = cos ⁡ θ   d θ

u = 0           →             θ = 0

u = 1           →             θ = π 2

Levando para a integral

= 4 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ   d θ =

= 4 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ =

Substituindo

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Temos

= 2 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ =

= 2 θ + 1 2 s e n   2 θ 0 π 2 =

= 2 π 2 = π

Resposta

π

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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .