Mudança de variáveis
Considere a região limitada pela curva e pelos eixos coordenados. Determine
Dica: utilize a transformação de coordenadas , .
Passo 1
Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido.
A região é essa marcada em cinza.
Passo 2
Ok, e agora? No plano , podemos escrever essa região como tipo I, está entre as retas e e vai de a , portanto:
Fazendo a mudança sugerida
Temos
O que nos dá
Bom, no plano podemos então descrever a região como
Passo 3
Bom, mas como tudo na vida tem um preço, não poderia ser tão simples assim né.
Temos que calcular o Jacobiano dessa transformação, lembra?
Temos:
Isso nos dá
Passo 4
Beleza, agora vamos montar a integral:
Passo 5
Agora é só resolver isso aí
Agora vamos fazer a mudança:
Levando para a integral
Substituindo
Temos
Resposta
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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .