UNICAMP – Cálculo 2 – 2020.2 – P2 (Tarde) – Discursiva
. Seja o paralelogramo com vértices , , e . Usando a mudança de variável e , calcule a integral.
Passo 1
Vamos começar essa questão descobrindo quem é e em função de e , ou seja:
Substituindo na outra equação e isolando o temos:
Além disso precisamos dos limites de integração e ficará muito mais fácil se olharmos para esse paralelogramo:
As retas pretas são dadas por
Olhando para os pontos que pertencem a cada reta podemos encontrar os limites de integração escolhendo um segmento e substituindo os pontos.
Para :
Para :
Com essas informações só nos falta calcular e montar a integral. Então, vem comigo!
Passo 2
Vamos calcular
Então pelo teorema de mudança de variável temos que:
E é esse o nosso resultado!
Resposta
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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .