Mudança de Variáveis
Calcule as seguintes integrais
é o quadrado
Passo 1
Vamos ver como é, algebricamente essa região.
Temos situações, que são os sinais de e combinados, vamos ao caso 1
Vamos ao caso
Agora o caso
Multiplicando por para chegar em algo parecido com o caso
Agora, finalmente, vamos ao último caso, o caso
Multiplicando por para chegar em algo parecido com o caso
Podemos resumir então em duas fórmulas
Repara que essas fórmulas também estão na integral, vamos usar essa substituição então
Isso é o mesmo que
Passo 2
Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.
Temos que pegar o jacobiano sempre em módulo, então
Fazendo a substituição na integral, temos, então:
Passo 3
A nova região vai ser
A integral vai ser
Resposta
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Determine o jacobiano da transformação.x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .