Halliday & Resnick, Fundamentos de física, vol. 1: Mecânica. 8ª Ed. LTC, Rio de Janeiro. Cap 11, Questão 15
(Cap. 11 – Ex. 15)
Bola não homogênea. Na figura abaixo uma bola de massa e raio rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa e passando por uma pista circular com de raio. A altura inicial da bola é . Na parte mais baixa da curva, o módulo da força normal que a pista exerce sobre a bola é . A bola é formada por uma casca esférica extrerna homogênea (com uma certa massa específica) e uma esfera central , também homogênea (mas com massa específica diferente). O momento de inércia da bola é dado pela expressão geral , mas não é igual a , como no caso de uma bola homogênea. Determine o valor de .
Passo 1
Falaa ai galerinha bonita, tudo jóinha? Bora lá praticar a mecânica rotacional? Então vem comigo!!
Como o problema não fala em forças dissipativas, podemos considerar o sistema conservativo e aplicar o princípio de conservação e energia em dois pontos: no de máxima energia potencial e de máxima energia cinética! Traduzindo: no ponto mais alto do movimento, só possuímos energia potencial gravitacional, de maneira quea energia mecânica inicial é dada como:
Onde é a massa da esfera. Agora no ponto mais baixo, no vale do movimento, toda aquela energia potencial, se transforma em energia cinética, de forma que a energia mecânica final é puramente cinética, tanto de translação, quanto de rotação, tal que:
Sendo assim, pela conservação da energia, temos que:
Passo 2
Ta, mas aqui não temos as velocidades... Mas saca só, a sagacidade aqui é a gente perceber que no ponto mais baixo da movimento, de acordo com o enunciado, a pista possui uma forma circular de raio de maneira que a esfera passa a descrever uma trajetória circular. Portanto quando a bola está na parte mais baixa da curva, a força normal exercida pela superfície na bola menos a força peso é igual a força centrípeta e consequentemente temos aqui uma aceleração centrípeta . Então da segunda lei de Newton temos:
Do enunciado temos . E a aceleração centrípeta é dada pela fórmula:
Assim na equação ali em cima, teremos que:
Logo:
E como não há deslizamento, , então para a velocidade angular:
Logo:
Passo 3
Podemos colocar todas essas informações na equação da energia, que foi a primeira coisa que achamos, lá em cima no passo anterior:
Vamos multiplicar tudo por e cortar em todos os termos, de forma que:
Isolando
E como temos que , então:
Tal que:
Então substituindo os valores que enunciado deu pra gente:
Assim
Show!
Bora treinar mais?