Um disco de massa e raio está em repouso sobre uma superfície plana, horizontal e com atrito. Num dado instante aplica-se no seu centro uma força constante, cuja direção faz um ângulo com a horizontal, como mostra a figura. Sabe-se que o disco rola sem deslizar sobre a superfície e que o momento de inércia do disco em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro é .

Considere a resistência do ar desprezível, e que a gravidade tem módulo conhecido.

a) Faça um diagrama representando todas as forças que agem sobre o disco nos seus respectivos pontos de aplicação.

b) Determine o módulo da aceleração, , do centro de massa do disco enquanto ele se desloca.

c) Determine o módulo e o sentido da força de atrito que atua sobre o disco.

d) Determine a energia cinética adquirida pelo disco no instante em que dá uma volta completa a partir do instante inicial.

Então o diagrama de forças é:

b)

Quando temos situações como essa, de rolamento sem deslizar e com várias forças atuando, temos que montar equações a partir da 2ª lei de Newton:

e pra rotação:

Mas a força não tá legal fazendo um ângulo com a horizontal. Por isso vamos decompô-la em uma componente paralela à superfície e uma componente ortogonal à superfície.

Com uma trigonometriazinha básica, obtemos a decomposição:

Agora sim podemos aplicar a 2ª lei de Newton!

Vamos focar primeiro no eixo paralelo à superfície. As forças atuando nesse eixo são , pra direita, e , pra esquerda. Então, vamos ter:

O disco se movimenta pra direita, então em módulo a equação fica:

Vou ir numerando essas equações que a gente vai achar, que nem essa que eu chamei de .

Agora vamos ver o que acontece no eixo perpendicular à superfície.

As forças atuando nesse eixo são e , pra cima, e , pra baixo. E não há movimento nesse eixo, então essas forças se cancelam:

Ou, em módulo:

E , então:

Show, agora vamos analisar a rotação!

Repare que a única força que produz torque em relação ao eixo passando pelo centro de massa do disco é a força de atrito .

Pois é, a e a atuam diretamente no CM, enquanto o vetor posição da normal é paralelo a ela mesmo, então nenhuma dessas realiza torque!

Logo,

A força de atrito atua a uma distância do centro do disco, então o torque da força de atrito tem módulo

Logo,

E no rolamento sem deslizar, ainda temos a condição de vínculo .

Então junto isso tudo, obtemos o sistema:

Pela equação , temos

E pela equação ,

Juntando esses valores na equação , obtemos:

Lembrando que , isso dá:

Cortando dos 2 lados:

Deu um bom trabalho, mas conseguimos achar a aceleração! :D

c)

Agora ficou fácil de achar a o módulo da força de atrito, a gente já montou as equações todas!

Vimos que

Ou seja,

Agora vamos ver se isso condiz com o sentido que a gente determinou antes pra força de atrito, pra esquerda.

Pela figura, podemos ver que

Logo,

Então módulo da força de atrito é positivo, e um módulo tem que ser que ser positivo mesmo né! Isso significa que o sentido que escolhemos pra força de atrito estava certo.

d)

Vamos aplicar o teorema trabalho-energia cinética! Ele diz que o trabalho total é igual à diferença de energia cinética :

Depois de uma volta completa, o deslocamento do centro de massa do disco é igual ao seu perímetro, ou seja . Então o deslocamento que a gente tem que considerar na hora de calcular o trabalho é esse .

Vejamos, as forças peso, normal e são perpendiculares ao movimento, então elas não realizam trabalho. E na verdade, a força de atrito também não, porque no rolamento sem deslizar, o atrito é estático (a velocidade do ponto de contato com o chão é nula). E o atrito estático não realiza trabalho: sem deslocamento não tem como haver trabalho!

Ou seja, a única força que realiza trabalho no disco é a força :

E a é constante e aponta no sentido do movimento, então esse trabalho é:

Portanto, voltando pro teorema trabalho-energia cinética:

A é a diferença da energia cinética (que a gente quer achar) e da energia cinética inicial . Mas o bloco parte do repouso, então . Logo, .

Ótimo! Então a energia cinética final é: