Considere um carretel de raio externo , massa e momento de inércia em relação ao centro de massa . Ele está em repouso quando uma corda enrolada no cilindro interno de raio é puxada com uma força de tração horizontal constante . O carretel passa a rolar sem deslizar no sentido horário (para a direita) em um plano horizontal com coeficiente de atrito estático . As forças na direção horizontal, atrito e tração, agindo no carretel estão ilustradas na figura.

a) Escreva as equações de movimento que descrevem a dinâmica do carretel como translação do centro de massa e rotação em torno do centro de massa.

b) Use as equações do item anterior para obter o modulo da aceleração angular α em relação ao centro de massa do carretel.

c) Qual é o valor máximo da tração para o rolamento sem deslizamento.

A Segunda Lei de Newton para rotação fica:

O vetor posição é perpendicular ao vetor força nos dois casos:

Então, o módulo dos torques serão o raio vezes a força.

Para a força , o raio do cilindro interno é e para a força de atrito , o raio do cilindro externo é :

Como o cilindro gira no sentido horário, a aceleração angular está nesse sentido. Vamos considerar esse sentido como positivo.

O torque da força de tração tenta girar no sentido anti-horário (negativo) enquanto o torque da força de atrito tenta girar no sentido horário (positivo):

Sabemos também o momento de inércia , dado no enunciado:

Pronto, temos a nossa segunda equação de movimento.

Na letra (b), queremos a aceleração angular .

Para isso vamos usar aquelas duas equações que achamos:

Mas existe mais uma relação que podemos utilizar.

Como não há deslizamento entre o carretel e o chão, necessariamente a aceleração do centro de massa se relaciona com a aceleração angular a partir de:

Vamos substituir isso na primeira equação:

Além disso, vamos simplificar a segunda equação cortando o dos dois lados:

Agora nosso sistema ficou:

Como não é um valor conhecido, vamos eliminá-lo da resposta.

Podemos simplesmente somar as duas equações:

Na letra (c), queremos o valor máximo de tração sem que haja deslizamento.

Qual é a situação limite sem que haja deslizamento?

É quando a força de atrito estático atinge seu valor máximo:

Usando a Segunda Lei de Newton para translação, temos:

Então, quando a força de atrito estiver em seu valor máximo, teremos :

Agora, vamos deixar essa expressão apenas em função de parâmetros conhecidos.

Como o carretel está em equilíbrio na vertical, temos que a força normal é igual à força peso:

Substituindo na nossa equação:

Além disso, sabemos que a aceleração é igual a:

Substituindo isso na expressão:

Isolando o :