Um cilindro rígido e homogêneo de massa e raio está sobre uma superfície horizontal e pode girar livremente em torno de seu eixo de simetria longitudinal, como indicado na figura. O eixo está preso a uma extremidade de um fio ideal que passa por uma polia ideal e tem em sua outra extremidade um bloco suspenso de massa . O bloco desce verticalmente com aceleração para baixo e o cilindro rola sem deslizar sobre a superfície horizontal devido ao seu atrito com ela. O momento de inércia do cilindro relativo ao eixo de simetria é . Considere como dados e o módulo da aceleração da gravidade.

a) Indique todas as forças externas que atuam sobre o bloco e sobre o cilindro.

b) Calcule o módulo da aceleração do bloco;

c) Calcule o módulo da força de atrito sobre o cilindro e indique o seu sentido.

Vamos ver o bloco agora.

Nele só tem as forças peso e a tração do fio :

b)

Um aviso antes da gente mergulhar de cabeça nas contas: sempre que eu botar um vetor mas sem a flechinha em cima é porque é o módulo dele, beleza? Tipo é o módulo de .

Dito isso, vamos aplicar a 2ª lei de Newton pro bloco:

Como ele está descendo, em módulo vamos ter

Agora vamos pro cilindro! Temos que ficar ligados porque ele, além da translação, tem uma rotação.

Vamos começar aplicando a 2ª lei de Newton pra translação. Seja a aceleração do centro de massa do cilindro. Ela é toda pra direita, então no eixo temos:

Como o cilindro vai pra direita, em módulo temos

Obs: não vamos nos preocupar com as forças no eixo e porque elas não têm importância pra essa questão.

Beleza, agora vamos dar uma olhada na rotação.

As forças peso, normal e de tração estão na direção do centro do cilindro, que é onde fica o eixo de rotação. Então essas forças não realizam torque, somente a realiza.

O braço da alavanca é o próprio raio do cilindro, então o torque da força de atrito é dado por:

O sinal negativo é porque o torque produzido é no sentido horário, e o sentido anti-horário que é o considerado positivo.

Portanto, pela 2ª lei de Newton,

A aceleração é no sentido horário, então ela também é negativa:

Então vamos ter:

Os sinais de negativo vão cortar:

E em módulo:

Show! De todas essas equações, obtivemos o sistema:

Mas ainda dá pra ajeitar várias coisas aí!

Primeira observação: os fios e a polia são ideais, então as forças de tração e as acelerações nos blocos têm o mesmo módulo! Isto é,

Tem que ficar ligado nisso, quase toda questão desse tipo envolve isso!

Outra coisa é que o momento de inércia é , então podemos ajeitar a última equação do sistema:

E também temos a relação

Logo,

Beleza, então agora o nosso sistema ficou assim:

Vamos somar as 2 primeiras equações:

Agora vamos substituir a 3ª equação nessa que achamos, aí dá:

Vamos isolar o , que é o que a gente quer achar:

c)

Agora só falta calcular o módulo da força de atrito! Vimos que

Ou seja,

Todos os valores envolvidos são positivos, então . Isso confirma que lá no começo escolhemos o sentido certo pra força de atrito, ela aponta pra esquerda mesmo!