Um cilindro homogêneo de massa e raio sobe um plano inclinado de um ângulo em relação à horizontal sob a ação de uma força constante, como mostra a figura abaixo. O cilindro parte do repouso e sua velocidade angular aumenta com o tempo. Sabe-se que o cilindro rola sem deslizar e que seu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular que passa pelo seu centro de massa é .

Dado:

b) Determine a força de atrito (módulo, direção e sentido) que o plano excerce sobre o cilindro.

c) Determine a velocidade do centro de massa do cilindro após o mesmo ter subido uma altura h, em relação à sua posição inicial.

Agora, vamos calcular o módulo da .

Para isso, vamos escrever as equações de translação e de rotação para esse corpo, e com elas, conseguimos resolver o sistema e achar a .

Quais são as forças atuando no cilindro?

Rotação:

Pela segunda lei de Newton para rotação:

O torque resultante é a soma dos torques de cada forças:

Vamos calcular com relação ao eixo de rotação, que passa pelo centro de massa:

O torque da força peso é zero pois ele está aplicado no centro de massa. O torque da força é zero pelo mesmo motivo.

Já o torque da força normal , será:

O produto vetorial é zero pois os vetores são paralelos.

Assim, o torque da força normal é nulo, pois a força está na direção do centro de massa.

Por último temos a força . Seu torque será dado por:

Como os vetores são perpendiculares, o módulo do torque será:

Substituindo todos esses valores na equação dos torques, temos:

Translação:

Vamos decompor a força peso nas direções paralela e perpendicular à rampa:

Então, ficamos com as seguintes componentes:

Na direção paralela à rampa, temos:

Podemos escrever a equação de forças na direção perpendicular à rampa, porém, não vamos precisar dela...

Isso porque a não se relaciona com a força normal , pois ela não necessariamente apresenta valor máximo:

Bom, temos as seguintes equações:

Além delas, temos também a relação de rolamento sem deslizamento:

Podemos substituir o valor de na segunda equação:

Já na primeira equação, podemos substituir o valor do momento de inércia do cilindro:

Agora, temos esse sistema aqui:

Somando as duas equações, temos:

Na letra (c), queremos a velocidade do centro de massa do cilindro após ele subir uma altura .

Podemos resolver esse item por energia, atravé do teorema trabalho-energia cinética:

Sendo o trabalho resultante de todas as forças e a energia cinética sendo a soma da energia cinética de rotação com a de translação .

Porém, como já temos a força de atrito do item (b), um outro caminho é encontrar a aceleração sobre o cilindro e a partir dela, encontrar a velocidade.

Como o cilindro parte do repouso, basta descobrirmos o seu deslocamento que conseguimos achar sua velocidade, por meio de Torricelli:

Para achar esse deslocamento , vamos usar a inclinação da rampa:

Achamos quanto o cilindro precisa se deslocar ao longo da rampa para subir uma altura .

Aplicando Torricelli:

A velocidade inicial é zero (parte do repouso):

Substituindo os valores de e de , temos:

Assim, temos que a velocidade é: